Kaç farklı polinom yazılabilir?

Question

Üçüncü dereceden bi P(x) polinomu için aşağıdakiler bilinmektedir.

 Başkatsayısı 2'dir.

 Bir kökü -1/2'dir.

 Katsayıları (0,1,2,3,4,5,6)kümesinin elemanlarıdır. Buna göre kaç farklı P(x) polinomu yazılabilir. 

        Ben 2x^3+mx^2+nx+k olucak şekilde denklem yazdım.Kökü denklemde yazıp kaç farklı çözüm olabilir tarzı sorulara çevirmeye çalıştım ama olmadı.

Comments

Bir kökünün $-1/2$ olduğunu biliyorsak bu polinomu

$P(x) = (x+\frac{1}{2})G(x)$ şeklinde ayırabiliriz değil mi? Eğer cevabın evet ise, $G$ kaçıncı dereceden olmalı?

---

Ben denklemi bu şekilde yazmamıştım.G(x) 2. dereceden olmaz mı ?

---

Evet. Yani 

$$P(x) = (x+ \frac{1}{2}) (a x^2 + bx + c)$$

seklinde yazabiliriz değil mi? Bunu dağıtırsak ne elde ederiz?

---

Dağıttım ama gelen denklem karışık oldu. ax^3+x^2(1/2.a+b)+x.(c+1/2.b)+1/2.c     Geliyor eğer yanlış yapmadıysam.

---

Bas katsayinin 2 oldugunu da dikkate alin.

---

alpercay'in dediği gibi başkatsayı $2$ imiş. Demek ki $a=2$ imiş. Şimdi elinde 

$$x^3 + (1+b)x^2 + (\frac{b}{2} + c) x + \frac{c}{2}$$

polinomu var. Soru şuna döndü:  Kaç farklı senaryoda $$1+b, \frac{b}{2} + c  \text{ ve }\frac{c}{2}$$

sayılarının hepsi istenen aralıkta olur.

---

Soruyu en son getirdiğimiz denklen sonra kökü denklemde yazdım.   -1/4+k+1/4.m-1/2n=0 geldi daha sonra bunu şöyle düzenledim 2.(2k-n)=1-m  eşitliğin sol tarafı daima çift sayı olduğu için sağ tarafın çift sayı olması için M bize verilen kümedeki tek sayılır olmalı M=1 M=3 M=5 için k ve n'ye değer verdim.10 farklı polinom yazabiliyoruz.Cevabı buldum umarım mantıklı çözmüşümdür.Sayılar denk gelmemişdir.

---

İlginiz ve yardımınız için teşekkür ederim.Baya bir şeyi gözden kaçırmıştım.