Çarpma sayısını azaltma problemi

Question

$n,m > 1$  birer  pozitif tamsayı olmak üzere $n^9m^{11}$ ifadesini hesaplamak için en az kaç tane çarpma yapmak yeterlidir?

$A) 6$

$B) 8$

$C) 10$

$D) 12$

$E) 14$

İlk önce $(n.m)^9.m^2$ ve benzerlerini denedim bir şey değişmedi.

Daha sonra $n = a^c +b^c$ ve $m = d^f +e^g$ tanımladım.Çarpma sayısını artırmaktan başka işe yaramadı.

En son da taban aritmetiği ile bir şeyler yapmaya kalktım.

$n = (a_1a_2a_3\dots a_k)_b$ $m = (c_1c_2c_3\dots c_l)_d$

$n^9 = (b^0.a_l + \dots + b^{(l-4)}.a_3+b^{(l-2)}.a_2+b^{(l-1)}.a_1)^9$

$m^{11} = (d^0.c_k + \dots + d^{(k-4)}.d_3+d^{(k-2)}.c_2+d^{(k-1)}.c_1)^{11}$

barizdir ki gene çarpım sayısı arttı.Yardım ederseniz sevinirim.Bu arada cevap:$6$

Comments

n ile m yi çarpalım: n*m=nm  //1. çarpma
nm ile nm i çarpalım= nm * nm=n^2m^2  //2. çarpma
n^2m^2 ile n^2m^2 =n^4m^4  //3. çarpma
n^4m^4 * n^4m^4 =n^8m^8 //4. çarpma
n^8m^8 * nm =n^9m^9 //5. çarpma
m*m=m^2  //6. çarpma
n^9m^9 * m^2=n^9m^11 //7. çarpma

Ben 7 çarpmada buldum. Sonuç yanlış ama fikir edinmişsindir. Üslü yazmayı bilmiyorum ^ ile yazdım.

---

Güzel fikir.

---

@ 12asdf_1234, sana da cevap icin bildirim gelsin diye bu yorumu yaziyorum.

---

Bu arada: Iki ile genisletmenin yani sira (tersten) cifte getir ikiye bol tarzi bir yontem de var. 

Ornegin $7 \leftarrow 6 \leftarrow 3 \leftarrow 2 \leftarrow 1 $ gibi.

---

Neden bes carpma ile olamaz peki? Mesela $n=m$ olsa $$1\to 2 \to 4\to 8 \to 16 \to 20$$ olarak bes carpma ile yapilabilir.

---

Diger bir soru da su: $$n^am^b$$ icin en az kac carpma gerekir? En son olarak da $$n_1^{a_1}n_2^{a_2}\cdots n_{t}^{a_t}$$ icin en az kac carpma gerekir?

---

Cevaplarini bilmiyorum ama ugrasmaya degecek sorular oldugunu dusunuyorum.

---

Mesela yukaridaki dedigim yontemi ikinci boyuta tasirsak: 

(1,1) cikart (8,10)

2ye bol (4,5)

(0,1) cikart (4,4)

2ye bol (2,2)

2ye bol (1,1)

Answer 1

Alti carpma ile nasil bulacagimiza bir ornek vereyim ve sunu tartisalim (olamazsa) neden bes carpma ile olamaz:

(0) Elimizde $n$ ve $m$ var 

(1) $n\cdot m  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \bbox[yellow]{ \text{(0) geregi} }$

(2) $(n\cdot m) \cdot (n\cdot m) =(n\cdot m)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \bbox[yellow]{ \text{(1) geregi} }$

(3) $(n\cdot m)^2 \cdot (n\cdot m)^2=(n\cdot m)^4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \bbox[yellow]{ \text{(2) geregi} }$

(4) $(n\cdot m)^4 \cdot m=n^4\cdot m^5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \bbox[yellow]{ \text{(3) ve (0) geregi} }$

(5) $(n^4\cdot m^5)^2=n^8\cdot n^{10}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \bbox[yellow]{ \text{(4) geregi} }$

(6) $(n^8\cdot n^{10}) \cdot (n\cdot m)= n^9\cdot n^{11} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \bbox[yellow]{ \text{(4) ve (1) geregi} }$

Comments

Teşekkürler ben (nm)^4 ü  (nm)^4 ile tekrar çarpmıştım 3. adımdan sonrası m ile çarpmak daha mantıklı m^2 ayrıca çarpmak işlem fazlalığına neden olmuş sanırım