a,b,c elemanıdır Z , a>0 olmak üzere ax^2+bx+c=0 denkleminin gerçek kökleri x1 ve x2'dir. 0<x1<x2<1 olması için a tam sayısının en küçük değeri kaçtır?

Question

ben şu şekilde bir yol izledim. x1+x2>0 ve x1.x2>0 olur. sonra kökler topalmı formülünden -b/a>0 ve -b/a<0 ve c/a>0 geldi. bu durumda şöyle bir sonuç elde ettim b<0, a>0, c<0 . sonra diskriminantı bulup kök bulma formülünden kökleri yazdım ancak burdan öteye gidemedim. lütfen yardımcı olun proje ödevim yapamıyorum. şimdiden teşekkürler...

Comments

ilk dediklerin tum $x_1,x_2>0$  icin saglanir, degil mi? Ustten $1$ sinirini kullanmamissin hic.

---

Soyle bir polinom ornegi vereyim: $5\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14$.

Tabi bu ornek istenenin 1,2,3,4,5'ten biri olabilecegini soyler.

---

Kökleri $(0,1)$ aralığında olan sayısız parabol(polinom) var. Bu yazdığınızı nasıl buldunuz?

---

Kokleri 1/2'den 1/2 uzaklasmayan ikinci dereceden bir polinom yazmaya calistim. Bu da onlardan biri... Amaca uygun olmasi icin $5x^2-5x+1$ yerine kapali halini yazdim. 

Tabii dedigim gibi bu daha kucuk yazilamayacagi anlamina gelmez. Fakat istenen degerin $1,2,3,4,5$ degerlerinden biri olacagini garantiler.

Answer 1

$0<x_1<x_2<1$      eşitliğinden     $x_1-1<0,x_2-1<0$ eşitsizlikleri yazılabilir. Buradan; $$(x_1-1).(x_2-1)>0$$

$$x_1x_2-(x_1+x_2)+1>0$$

$$\frac ca+\frac ba+1>0\Rightarrow \frac{a+b+c}{a}>0$$ olur. $a>0$ olduğundan $a+b+c>0\Rightarrow a>-b-c$ elde edilir. 

Burada $a,b,c\in Z$ ve $a>0,b<0,c>0$  oldukları kullanılarak en küçük $a$ bulunabilir.

Comments

$(x_1−1).(x_2−1)>0$.

Burada ek olarak  $x_1,x_2>1$ durumlarini da saymis oluyorsunuz.

---

Hocam ben bu soruda a>0 b<0 c>0 olmak üzere a'nın $-\left( b+c\right) <a <\dfrac {b^{2}}{4c}$ aralığında olduğunu buluyorum. a bir tam sayı olduğundan  c=1 alındığında b=-5 için verilen aralıktan a tam sayısı minimum 5 geliyor.Daha küçük b değerleri için bulduğumuz eşitsizlikten tam sayı gelmiyor.Ancak daha büyük c değerleri için 5 ten küçük bir a değerine ulaşılabilir mi?Ulaşılamazsa bu durum nasıl kanıtlanır ?Sizin fikrinizi almak isterim.Bu arada $\dfrac {-b+\sqrt {\Delta }}{2a} <1$ eşitsizliğinden de a+b+c>0 geliyor.Tabi burada $a >\dfrac {-b}{2}$ eşitsizliğini kabul etmemiz lazım.