$G$ grup olsun $X$ herhangi bir küme olsun.
$(x,y\in X)x\star y=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right]$ operasyonu altında gruptur.
Ben yaptım sayılır ama emin olamıyorum kontrol eder misiniz?
Kapalılık:
$x,y\in X$ olsun. $x\star y=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right]$
Yorum: Mesela burada $f$ eşleme olduğu için her $x\in X$ için biricik bir $f^{-1}(x)\in G$ vardır dedim. Dolayısıyla $G$ zaten grup olduğu için ve kapalı olduğu için $f^{-1}(x)f^{-1}(y)\in G$ olur dolayısıyla $f(G)$ olduğundan $X$ bu operator altında kapalıdır dedim.
Birim eleman:
Öyle bir $e\in X$ olacak ki her $x\in X$ için $x\star e= e\star x=x$ olacak
Yorum: $x\in X$ için $x\star e=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(e)\right]=x=f(f^{-1}(x))$. Burada da $f$'lerin içine baktım
$f^{-1}(x)f^{-1}(e)=f^{-1}(x)$ olması ispatı bitirir çünkü yorum: satırında yazdıgım eşitlikten dolayı, dedim.
buradaki elemanlar : $f^{-1}(x),f^{-1}(e)$ hepsi grup elemanı olduğundan $f^{-1}(e)=e$ elemanının birim elemanını sagladıgını söyledim.
Birleşme:
$x\star(y\star z)=(x\star y)\star z$ olduğunu göstermeli her $ x,y,z\in X$ için.
Yorum: Burada direkt olarak tersine dönüyor, işlem kalabalığından başka bir sorun yok.
$x\star(y\star z)=f\left\{f^{-1}(x ) f^{-1}( y\star z )\right\}=f\left\{f^{-1}(x ) \underbrace{f^{-1}\left( f\left[ f^{-1}( y) f^{-1}( z)\right]\right)}_{f^{-1}(y)f^{-1}(z)}\right\}=f\left\{f^{-1}(x )f^{-1}(y )f^{-1}(z )\right\}=....=(x\star y)\star z$
Tersinir eleman:
$(x,y\in X)x\star y=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right]$ operasyon bu olduğu için ve $G$ grubunda her $f^{-1}(x)$ için bir tersi olduğundan ve $f(e)=e$ olduğundan bu özellik de saglanır dedim.