G grup olsun X herhangi bir küme olsun.
(x,y∈X)x⋆y=f[f−1(x)f−1(y)] operasyonu altında gruptur.
Ben yaptım sayılır ama emin olamıyorum kontrol eder misiniz?
Kapalılık:
x,y∈X olsun. x⋆y=f[f−1(x)f−1(y)]
Yorum: Mesela burada f eşleme olduğu için her x∈X için biricik bir f−1(x)∈G vardır dedim. Dolayısıyla G zaten grup olduğu için ve kapalı olduğu için f−1(x)f−1(y)∈G olur dolayısıyla f(G) olduğundan X bu operator altında kapalıdır dedim.
Birim eleman:
Öyle bir e∈X olacak ki her x∈X için x⋆e=e⋆x=x olacak
Yorum: x∈X için x⋆e=f[f−1(x)f−1(e)]=x=f(f−1(x)). Burada da f'lerin içine baktım
f−1(x)f−1(e)=f−1(x) olması ispatı bitirir çünkü yorum: satırında yazdıgım eşitlikten dolayı, dedim.
buradaki elemanlar : f−1(x),f−1(e) hepsi grup elemanı olduğundan f−1(e)=e elemanının birim elemanını sagladıgını söyledim.
Birleşme:
x⋆(y⋆z)=(x⋆y)⋆z olduğunu göstermeli her x,y,z∈X için.
Yorum: Burada direkt olarak tersine dönüyor, işlem kalabalığından başka bir sorun yok.
x⋆(y⋆z)=f{f−1(x)f−1(y⋆z)}=f{f−1(x)f−1(f[f−1(y)f−1(z)])⏟f−1(y)f−1(z)}=f{f−1(x)f−1(y)f−1(z)}=....=(x⋆y)⋆z
Tersinir eleman:
(x,y∈X)x⋆y=f[f−1(x)f−1(y)] operasyon bu olduğu için ve G grubunda her f−1(x) için bir tersi olduğundan ve f(e)=e olduğundan bu özellik de saglanır dedim.