$A(a,b)$ noktasından çizilen teğetin eğimi $3$ ve $a>0$ olsun. Hiperbolün grafiği $y$-eksenine göre simetrik olduğundan bir de $B(-a,-b)$ noktasından çizilen teğetin eğimi $3$ olacaktır. Buna göre $$x=a$$ için $$b=\sqrt{a^2-1}$$ olacaktır. $$x^2-y^2=1\Rightarrow y'=\frac xy\Rightarrow y'(a)=\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}=3 \Rightarrow a=\frac {3\sqrt{2}}{4} \,\ \text{ve} \,\ b=\frac{\sqrt{2}}{4}$$ O halde $$A\left(\dfrac {3\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right) \,\ \text{ve} \,\ B\left(-\dfrac {3\sqrt{2}}{4},-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$$ bulunur. Birer noktası ve eğimi belli doğru denklemlerini bulmak ve bu doğruların $y$-eksenini kestiği noktaları bulma işini de size bırakıyorum.