Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

image 

7 özdeş çorap ve 7 özdeş ayakkabıya sahip 7 kollu bir ahtapot, her ayakta bir çorap ve bir ayakkabı olmak üzere, kaç değişik şekilde (sekansta) tüm çorap ve ayakkabıları giyebilir. Not: Ayakkabının üzerine çorap giymek yok.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (43 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.4k kez görüntülendi

Her ayakta bir adet nesne mi var, yoksa iki mi?

Her ayakta bir çorap ve bir ayakkabı yani 2 nesne

Her ayakta bir çorap bir de ayakkabı olacaksa önce ayakkabilari yerlestiremeyiz dolayisiyla once coraplar yerlesmelidir. Coraplar 1 farkli sekilde yerlesir. Ayakkabilar da bir farkli sekilde yerlesir (cunku hepsi ozdestir) dolayisiyla 1 farkli sekilde giyebilir?

Mesela insan olsa; ayakkabı ve çoraplarını sadece 1 şekilde mi giyecek?  Örnek: sol ayak çorap, sağ ayak çorap, sağ ayak ayakkabı, sol ayak ayakkabı. Ya da sağ ayak çorap sağ ayak ayakkabı, sol ayak çorap, sol ayak ayakkabı

Ben siralamanin goruntusu uzerine dusunmusum değişik şekilde giyinir derken. Güzel soru hocam, elinize sağlık. Zamanım olunca bir çözüm paylaşırım, o zamana kadar gelir gerçi:)

Selam deniz

"kaç değişik şekilde tüm çorap ve ayakkabıları giyebilir"  Yerine, bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilir? şeklinde olmalı bence.


'Şekilde' derken görsel şekli kastediyorsak o zaman cevap sonsuz olurdu değil mi? Yani ayakkabılarını giyerken eğilebilir, bükülebilir, 3 bacağını havaya kaldırabilir...vs. Şekilde diyerek burada sekansı kastediyoruz tabii ki :) (In how many ways... manasında). Gene de açıklık adına bunu soruya ekleyeceğim. 

Selam

Şekilde derken aslında kaç farklı sırada ayaklarına takabilir (doğru kelime bu mu acaba)demek istedim düzeltiyorum.

Sonuçta özdeş elemanların görüntüsünden kurtarmak için doğru cümleyi bulamadık galiba . 

Ama doğru şeyi anladık sanırım -:)

Ama güzel bir soru iyi düşünülmüş

Görüntü tabirini şu şekilde kullanmıştım: kişinin bu kıyafeti giyerkenki hareketinin şekli değil, bu kıyafetin kişi üzerindeki görüntüsü. Mesela 5 özdeş topu 6 özdeş torbaya kaç farklı şekilde dağıtabiliriz gibi bir soru ile karşılaştığımız zaman, önce bu top şu torbaya koyuldu, öbürü de bu torbaya koyuldu üzerinden saymayız, cisimler özdeş olduğu için onların torba içindeki görüntülerinin yaratacağı farklılığa bakarız ki bu burada torbanin icindeki top sayisi olarak yansir. O yüzden ben de sorunuza bakınca öyle bir yorum yapıverdim, ama tabii ki kollar özdeş değil, 7,7 ve özdeşler ardı sıra gelince atlamışım:) Ki bu da sekansı saymak ve görüntüsünü incelemeyi hemen hemen aynı kapıya çıkarıyor.

Hazır herkes sorunun soruluş biçimine takılmışken ben de takılayım. :) Soruda; '7 özdeş çorap ve 7 özdeş ayakkabıya sahip 7 kollu bir ahtapot, her ayakta bir çorap ve bir ayakkabı olmak üzere, kaç değişik şekilde (sekansta) tüm çorap ve ayakkabıları giyebilir.' diyor. Bu durumda cevap 'sıfır' da olabilir. Öyle ki soruya göre ahtapotun 7 kolu var ama hiç ayaktan bahsedilmiyor. :) Ama bu ahtapot kollarına çorap ve ayakkabı giyen bir ahtapot tabii. :)



Benim asıl takıldığım nokta şu , 7 koluna birden ayakkabı giyerse annesi telefonu çaldığında nasıl açacak:)

-:))) iyi yakalamışsın 


14!/(2!)^7 değil mi, yanlış mı düşünüyorum?

brkdmz kesinlikle doğru düşünüyosun, evet cevap $ 14!/2^7 $ Tebrik ederim!

Daha çözmemiş arkadaşlara diyeceğim; cevabi analiz ederek soruyu çözmek oldukça kolaylaşıyor. 

Bu soruya GRE/GMAT için çalışırken rastlamıştım. Tüm zamanlarda karşıma çıkan en iyi kombinatorik/olasılık sorularından biri olduğunu düşünüyorum.



1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Soru 1[Orijinal Problem]: $7$ özdeş çorap ve $7$ özdeş ayakkabıya sahip $7$ kollu bir ahtapot, her ayakta bir çorap ve bir ayakkabı olmak üzere, kaç değişik şekilde (sekansta) tüm çorap ve ayakkabıları giyebilir. Not: Ayakkabının üzerine çorap giymek yok.

Çözüm:

Bu sorudan anladığım, çorap-ayakkabı giydirme işlemleri bittikten sonra görüntü olarak kaç farklı desen elde edileceğidir. (Metinde ''Sekans'' kelimesi var fakat bana birşey çağrıştırmıyor.) Önce çorapları her bir ayağa (kola/uzva) birer tane giydirmeliyiz. Bu yalnızca $1$ yolla olur. Çoraplar özdeş olduğu için hangi çorabın $1.$ ayakta olduğunun önemi yoktur. Şöyle de açıkayabiliriz: $7$ özdeş topu, $7$ farklı kutuya her kutuda birer tane top olacak biçimde kaç farklı yolla dağıtırız? Bunun da cevabı $1$ dir. Benzer biçimde ayakkabılar da özdeş olduğundan bunları da, her bir ayağa birer tane gelecek biçimde $1$ yolla giydiririz. Hangi ayağa hangi ayakkabının geldiğinin önemi yoktur. Dolayısıyla, çarpma prensibiyle istenen görüntülerin sayısı $1\cdot 1 =1$  dir.

 

Soru 2[Modifiye Problem]: $7$ farklı çorap ve $7$ farklı ayakkabıya sahip $7$ kollu bir ahtapot, her ayakta bir çorap ve bir ayakkabı olmak üzere, kaç değişik sıralamada tüm çorap ve ayakkabıları giyebilir. Not: Ayakkabının üzerine çorap giymek yok.

Not: Kişisel görüşüm burada doğru kelime ''sıralama'' dır ve ''sıralama'' kelimesine özellikle vurgu yapmak gerekli. (''Sekans'' kelimesi ile bu sıralamaya vurgu yapılmak istenmiş olmalı fakat okuyucuda o etkiyi bırakmıyor.) Aksi halde yorumlarda da belirtildiği gibi farklı anlamlar çıkarılabilir. Probleme açıklama olarak şunu da ekleyebiliriz: ''İlk çorabın $1.$ ayağa giyilerek başlanması ile ilk çorabın ikinci ayağa giyilerek başlanması farklı sıralamalar olarak sayılmaktadır''. Şimdi soruyu net biçimde ortaya koyduğumuzu düşünüyorum. (Halen sorudan farklı bir anlam çıkarıyorum diyen varsa yorum olarak ekleyebilir, ifadelerimizi daha da açık biçimde geliştirebilir miyiz diye yine bakarız.) 

 

Çözüm: $i=1,2,\dots, 7$ olmak üzere $x_i$ ile $i$-inci ayağa çorap giyilmesini, $y_j$ ile $j$-inci ayağa ayakkabı giyilmesini gösterelim. Dolaysıyla bir yazılışta $x_i$, $y_i$ den önce görülmelidir. Soldaki iş sağdakinden önce yapıldığını göstermek üzere örnek bir sıralama: $x_1x_7x_3y_7x_4x_2y_2y_1x_6x_5y_5y_6y_3y_4$ yazılabilir. Hiçbir koşul olmadan bu $14$ nesneyi $14!$ yolla sıralayabiliyoruz. Fakat $x_1$, $y_1$'in solunda bulunacak, $x_2$, $y_2$'nin solunda bulunacak, ..., $x_7$, $y_7$'nin solunda bulunacak şekilde sıralamak istersek herbir işlem için $2$ ile bölmeliyiz. Aslında bu $x_i$ ile $y_i$ nin yer değiştirme sayısıdır. $2!$ de diyebiliriz. Diğer bir ifadeyle $x_i$ daima $y_i$ nin sounda bir konumda kalacaksa $x_i$ ile $y_i$ özdeş nesneler gibi alınarak sıralanmalıdır. Sonuç olarak tekrarlı permütasyonla

$$ \dfrac{14!}{2!^7} $$

elde edilir.

 

Not: Tekrarlı permütasyon fikrinin pekişmesi ve daha iyi anlaşılması açısından

1. 2016 da yazdığım Rick Grimes'ın Zombi Avı başlıklı problem. (O zamanlar The Walking Dead rüzgarı iyi esiyordu, sonra diziyi sıktılar.) Problemin cevabı, tekrarlı permütasyon fikriyle $\dfrac{9!}{3!2!4!}$ olur.

2. AIME (American Invitational Mathematical Examination) sınavlarından birinde sorulmuş bir soru diye hatırlıyorum ancak aramalarıma rağmen orijinal soruyu bulamadım. Çok önemli değil, kurgusu şöyleydi:

Aşağıdaki şekilde asılı olan özdeş $8$ balon vardır. Bir atıcı $8$ atış yaparak bu balonları patlatacaktır. Atıcı aynı ipte asılı olan balonlardan alttakini patlatmadan üsttekine atış yapmayacaktır. Patlayan balon ipten koparılmaktadır. Bu atıcı, her atışında bir balon patlatmak koşuluyla tüm balonları kaç farklı yolla patlatabilir? Cevap $\dfrac{8!}{2!2!1!3!}$ olur.

 

(1.4k puan) tarafından 
19,468 soru
21,189 cevap
71,133 yorum
27,347 kullanıcı