Processing math: 14%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
631 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/77237/3-n-basamakli-111-11-sayisinin-3-ile-bolundugunu-gosteriniz#c113524

Yukardaki sorunun çözümünde kullandığım yöntemi paylaşacağım. İspatını yapabiliriz ve örnek sorular koyabiliriz.

Tanım :  Bir p sayısının n sayısını böldüğü en büyük kuvvet  vp(n) olarak gösterilsin.

Örneğin v2(100)=2 dir.

p2 asal sayı ve p|xy olsun. p ve p\nmid y olsun. x , y 0 dan farklı tamsayılar ve n pozitif tamsayı.

                                                      v_{p}(x^n-y^n)= v_{p}(x-y) + v_{p}(n) 

p=2 ve 2\mid n  için

                                           v_{2}(x^n-y^n)= v_{2}(x-y) + v_{2}(x+y) + v_{2}(n) - 1                                

Lisans Matematik kategorisinde (881 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 631 kez görüntülendi

Cift icin x=3, y=1 ve n=1  olsun. v_2(3+1)+v_2(1)-1=1 olur ama 0 olmasi gerekmez mi?

Bir bilgiyi eklemeyi unutmuşum.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

p tek asal sayi olsun.

Elimizde x\equiv y \mod p var. Bu durumda (x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})\equiv nx^n \mod p olur.

Eger p\nmid n ise iki tarafin p-kuvveti de 0 olur.

Eger n=p ise x\equiv y+pk \mod p^2 olarak yazalim. Bu durumda (x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})\equiv \sum_{i=0}^{p-1}y^i(y^{n-i}+p(p-i)y^{n-i-1})  \mod p^2\equiv py^n+\frac{p(p-1)}{2}py^{p-1}\equiv py^p \equiv py  \; {\color{gray}{\not \equiv 0}} \mod p^2 olur. Yani her iki tarafin p-kuvveti 1 olur. (p\ne 2 oldugundan (p-1)/2 bir tam sayi).

Bu ikisini kullanarak genel hali ispatlayailiriz: n=p^{s}t olarak yazalim, \nu_p(n)=s olmak uzere. Bu durumda ilk durumdan dolayi \nu_p(x^n-y^n)=\nu_p(x^{p^s}-y^{p^s}) olur. Ikinci durumdan dolayi =\nu_p((x^{p^{s-1}})^p-(y^{p^{s-1}})^p)=1+\nu_p(x^{p^{s-1}}-y^{p^{s-1}}) olur. Dolayisi ile tumevarim uyguladigimizda \nu_p(x^n-y^n)=\nu_p(x-y)+\nu_p(n) esitligini elde ederiz. 

(25.5k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,900 kullanıcı