Fibonacci dizisiyle ilgili bir teorem...

Question

$f_0=1,f_1=1\text{ ve }f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ şeklinde tanımlanan Fibonacci dizisi için, $f_1+f_2+f_3+\cdots+f_n=f_{n+2}-1$ olduğunu ispatlayınız.

Aklıma tümevarım geldi, ancak bir iki tane $n\in\mathbb{N}$ için denediğimde önerme sağlamıyordu. Ifadesinde bir yanlışlık olabilir mi acaba? Mesela $f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1?$

Tümevarımın işe yarayacağını düşünüyorum ama başka ispat yöntemleriyle de çözümler varsa onları da merak ediyorum.

Answer 1

Ilk olarak $n=0$ durumunu kontrol etmeliyiz. Dogru mu, degil mi diye? Yani $$f_0=f_2-1$$ esitligi saglaniyor mu? $$f_0=1 \;\;\;\text{ ve } \;\;\;f_2-1=2-1=1$$ oldugundan bu esitlik saglaniyor.

Daha sonra su sorunun cevabinin olumlu oldugunu gostermeliyiz: Eger bu esitlik bir $n\ge 0$ tam sayisi icin saglaniyorsa $n+1$ icin de saglanir.

Saglaniyorsa diye kabul ettigimiz nedir? Bir $n\ge 0$ icin $$f_0+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1.$$ Gostermemiz gereken ise $$f_0+f_2+\cdots+f_n+f_{n+1}=f_{n+3}-1.$$

O zaman gostermeye calisalim:  $$f_0+f_2+\cdots+f_n+f_{n+1}=(f_0+f_2+\cdots+f_n)+f_{n+1}$$ dogal olarak saglanir ve parantez icerisini tumevarim kabulumuzu uygulayabiliriz. Bu durumda  $$=(f_{n+2}-1)+f_{n+1}=(f_{n+1}+f_{n+2})-1=f_{n+3}-1$$ saglanir. Bu da zaten gostermek istedigimizdi...

Bu sekilde ispatimizi tumevarim ile bitirmis oluruz.

Comments

Teşekkür ederim hocam, yani teoremin ifadesi kitabımda hatalıymış, elinize sağlık:)

Answer 2

Diger bir yol olarak $$f_0=f_2-f_1$$$$f_1=f_3-f_2$$$$\vdots$$$$f_{n}=f_{n+2}-f_{n+1}$$ esitliklerini taraf tarafa toplarsak (burada tumevarim yapmali miyiz?) $$f_0+f_1+\cdots+f_n=f_{n+2}-f_1=f_{n+2}-1$$ olur.

Comments

Tümevarıma gerek yok gibi düşünüyorum, çünkü zaten tanımı kullanmışız. Aklıma benzer bir örnek olarak $$\sum_{a=1}^n (a^2+1)a!=(n-1)n!$$ olması geldi (dikkatsizlik yapmış olabilirim) genel terime $+a\cdot a!-a\cdot a!$ ekleyerek bu sonuca ulaşabiliriz, birkaç $n\in\mathbb{N}$ için deneyerek arada bir ilişki yakalayıp tümevarımla da ispatlatayabiliriz. Sonuçta ikisi de doğru. (Gibi düşündüm, kesin var çıkacak:))