Kombinatorik (Yüksel Tamer'in sorusu)

Question

1 2 3 rakamları kullanılarak 12 basamaklı sayılar yazılacaktır. rakamların her biri en az 3 en fazla en az 5 kez kullanılarak 12 basamaklı kaç sayı yazılabilir? 

Cevabı bilmiyorum. Normalde $1,2,3$ rakamları ile şart olmadan $3^{12}=531.441$ adet $12$ basamaklı sayı yazılabilir. peki bu rakamlar $1,2,3$ rakamları en az $3$ defa en fazla $5$ defa olarak kullanılsa o zaman mesela $531,441$ kaça kadar düşer? İddaa'dan her hafta fantastik kuponlar yapıyorum, 12 maçlık. Buradaki $12$ maç favorisi olmayan maçlar. Mesela $1,0,2$ sonuçları için $2,20 - 2,90 - 2,40$ gibi oranları olan yani oran itibariyle $3$ sonuç da şaşırtmayan maçlar. Ama düşündüm buna matematiği de katarak bi şeyler yapılabilir. Mesela böyle $12$ maçta en azından $3$ tane $0$ en azından $3$ tane $2$ olabilir . Bu maçların hepsi ortada olduğuna göre $12$ maçın $8$ tanesi $1$ olmaz diye düşündüm. Peki bu durumda normalde $12$ maçın sonucu $531,441$ ihtimal iken bu mantıklı elemelerle ihtimal sayısı kaça kadar düşer? Araştırdığım konu bu...

Comments

Sayıların $3-4-5$ ve $4-4-4$ gibi belirme durumlarını sayabiliriz.

Answer 1

Her bir rakamdan üçer tane alalım. Geriye $12-9=3$ rakam daha belirleyeceğiz. Bunu da $x+y+z=3$ doğal sayılarda çözüm sayısı ile (dağılım prensibiyle) $10$ yolla seçeriz. Fakat $x=3, y=0, z=0$ durumunda $1$ rakamı altı kez, diğerleri üçer kez kullanılmış oluyor. Bu şekilde $3$ tane istenmeyen durum çıkarılırsa $7$ tane istenen durum kalır. $a,b,c$ sayıları sırasıyla kullanılan $1,2,3$ rakamlarının sayısını göstersin. Gerçekten de $(a,b,c)=(3, 4, 5)$ ve permütasyonları ile $(a,b,c)=(4,4,4)$ durumu toplam $7$ tanedir. Tekrarlı permütasyon ile istenen tüm durumların toplamı

$$6\cdot \dfrac{12!}{3!4!5!} + \dfrac{12!}{4!4!4!} = 200970$$ elde edilir.

Answer 2

Mathematica ile cozumu, cevap=200,970

 

 

list = Permutations[Flatten@{ConstantArray[1, 5], ConstantArray[2, 5], 
     ConstantArray[3, 5]}, {12}];
Length@list - 3 Length@Select[list, Count[#, 1] == 2 &]

200970