Neden ucgen cizeriz

Question

$a+b+c=12$ olmak uzere.$\sqrt{a^2-2.a+4}+\sqrt{b^2-4.b+16}+\sqrt{c^2-6.c+36}$ toplami en az kactir sorularinin czumunde nede ucgen cizeriz 

Comments

Üçgen çizmek geometrik bir yaklaşımdır, ama aslında eksik bir çözümdür çünkü minimum veya maksimum değerleri veren değişkenlerin aldığı değerleri yani durum analizini bize vermez, sınavda karşılaşan bir öğrenci için en kolay ve hızlı yol üçgen çizimi ve şu ana kadar hiç yanlış sonuç verdiğini görmedim, ama ben yine de güvenemem. Cauchy-Schwarz veya lagrange kullanarak (hatta genel olarak lagrange, çünkü değeri sağlayan üçlüleri doğrudan veriyor) çözüme giderim. 

---

Ben üçgen çizmek diye bir yöntem olduğunu dahi bilmiyordum. Anlatırsan ne olduğunu belki bir cevap buluruz.

---

Sanırım şuradaki gibi bir "üçgen"den bahsediliyor: http://matkafasi.com/3044/%24a-b-c-8-text-ise-sqrt-a-2-9-sqrt-b-2-4-sqrt-c-2-1-%24

Answer 1

Öncelikle cevapta üçgen çizmek ne demek gerekli bağlantıyı vereyim:

 http://matkafasi.com/3044/%24a-b-c-8-text-ise-sqrt-a-2-9-sqrt-b-2-4-sqrt-c-2-1-%24

Bu soruyu çözmek için akıllıca bir numara, genel olarak optimizasyon sorularının çözümü için bir yöntem değil. Soruyu önce parçalayalım. Hedef fonksiyon
$$f(a,b,c)=\sqrt{a^2-2.a+4}+\sqrt{b^2-4.b+16}+\sqrt{c^2-6.c+36}$$

ve kısıt
$$a+b+c=12.$$

Bu tip çok değişkenli optimizasyon problemleri Lagrange çarpanları ile çözülür. Fakat bu soruda özel bir takım koşullar sağlanıyor:

1. Hedef fonksiyon $f_1(a)+f_2(b)+f_3(b)$ şeklinde yazılabiliyor. Yani değişkenleri birbirinden toplamlar ile ayırabiliyoruz. Hedef fonksiyonumuz $a.b.c$ olsaydı mesela bunu yapamazdık. 
2. Kısıt denklemde yine değişkenlerin birbirinden toplamlarla ayrılabiliyor. Kısıt denklemimiz $a.b.c=12$ olsaydı bunu yapamazdık.
   
3. Yukarıdaki $f_1, f_2, f_3$ fonksiyonlarının her biri karşılık gelen değişken cinsinden bir dik üçgenin kenar uzunluğu olarak ifade edilebiliyor. Mesela $$f_1(a)=\sqrt{a^2-2.a+4}$$ dik kenarlarından bir tanesinin uzunluğu $a-1$ diğerinin uzunluğu $\sqrt{3}$ olan dik üçgenin hipotenüsüne eşit. 

Bu özel koşullar sağlandığı için soru yukarıdaki linkteki gibi bir yöntemle analitik bir sorudan geometrik bir soruya çevrilerek çözülebiliyor. 

Uzun lafın kısası aslında "üçgen çizmek" diye bir yöntem yok, sadece bu sorunun çok özel koşulları gereği geometrik bir yorumu var dik üçgenler cinsinden.

Bence bu tip sorular ve yöntemleri fazlaca öne çıkartmak yanlış bir tutum (hocalara söylüyorum), zaten öğrenciler üniversiteye gelene kadar matematiği içi boş bir takım yöntemler olarak öğreniyor (mevcut düzenin kaçınılmaz bir sonucu olarak), bir de üniversitede bu şekilde madrabazlıkları matematiğin asıl konusu haline getirmek çok zararlı.