$000,001,\cdots,999$ yaziliminda ondalik rakamlarin esit miktarda gozuktugunu ispatlayiniz

Question

$$000$$ $$001$$ $$\vdots$$ $$999$$ yaziminda ondalik rakamlarin esit miktarda gozuktugunu (basakmak sayisindan bagimsiz olarak genellestirebilecegimiz sekilde) ispatlayiniz.

Comments

Permutasyon kullanalım.

3 basmaklı kaç farklı sayı yazarız? $10.10.10=1000$

peki tüm bu 3 basamaklı sayılardaki rakamlar kaç tane? $10^3.3$ çünkü $1000$ satır ve $3$ sütün var dolayısıyla 10 rakam olduğu için her rakam $3000/10=300$ kere kullanılmış

peki $x$ basamaklı kaç farklı  sayı yazarız? $10^x$ peki bu sayılarda kaç rakam var $10^x.x$ peki her rakam kaç kere kullanılmış? $10^{x-1}x$

verilen özel bir $abc...jkl$ gibi basmagı bellı bır sayıya kadar olan tum rakamlar kaç tanedir dersek biraz düşünmek gerek ama gene permutasyon ış gorur gıbı.

---

"10 rakam olduğu için her rakam" dedigin yerde ispatlanmasi gerekeni kullanis olmuyor musun?

---

Soru kac tane gozukur degil, esit miktarda gozuktugunu ispatlayiniz.

---

10.10.10 derken permutasyon dedıgım için yazmadım ayrı ayrı,

$\Box\Box\Box$ bu 3 basamaklı bir sayı 0'ı  da ilk  basamaga yazabılıyoruz dersek;

ilk basamaga 10 rakamı da kullanırız,2. basamaga da 10 rakam, ve 3 e de.... permutasyon hesabını yaparken hepsını kullandım ve permutasyonun 10 rakam ve 3 boşlukla yapacagı tum sayıları yanı 000 dan 999 a kadar tum sayıları yazdıgını kullandım. bişey varsaymadım

---

Sordugum kisim orasi degil. 
$10$'a bolup $300$ buldugun kisimda neye dayanarak $10$'a boldun?

---

10 tane farklı rakam kullandım her bırınden aynı sayıda kullandım

---

Evet, bunu ispatlayabilir misin? 

---

Tumevarim kullanilabilir...

---

Anil buna bir ispat veriver?

---

Kusurabakma abi, yorumları yazdıktan sonra adam gibi vaktım olmadı.

Motivasyon:

Kombinasyon diyorki (kombinasyonu nasıl ispatlarız şuanda konumuz degil sanırım) elimde $x$ adet farklı eleman varsa bu elemanlardan $a<x$ tanesini seçip bir küme oluşturcaksam bu kümenin eleman sayısı  $\binom x a=\dfrac{x!}{a!(x-a)!}$ tane olur.

Şimdi 2-d düzlemdeyiz farklı 3 A,B,C noktası seçtim. A'dan B'ye 2, B'den C'ye 3 yol var, bağımlı olaylarından dolayı, A'dan C'ye tam olarak 6 farklı yol seçebiliriz.


Seçim ve bağımsızlığı n basamaklı sayı yazmak için kullanalım.


Varsayım:
 2-d düzlemde n+1 farklı nokta alalım $a_1,a_2,...,a_{n+1}$ şimdi her ardışık $a_i$ noktası arasında tamı tamına 10 tane yol olsun, Her yol, kaçıncı olduğuna bağlı olarak $\mod 10$'da birbirine denk olsun(yani misal bir f fonksiyonu $a_3-a_4$ arasındaki 10 farklı yolla, $a_7-a_8$ arasındaki 10 farklı yolu birebir ve örten şekilde eşliyor). Her ardışık 2li nokta arası yollar diğer ardışık 2li noktaların yollarına bağımlı olduğundan $a_1$'den $a_{n+1}$'e kadar toplam $10^n$ farklı yol varmış deriz,

Tümevarım kullanarak ispat.(tümevarım için ise sadece 1. adımın kullanılması yetiyor, çünkü diğer adımlar için ilk yollar kaldırıldıgı zaman zaten ilk sisteme eş sistem elde ediyoruz.)

şimdi geldi her 2 ardışık nokta arasında tanımladığımız 10lu yollardaki her biricik yolun eşit sayıda kullanıldığını göstermek bunun için $a_1-a_2$ ve $a_2-a_{n+1}$ noktalarına bakalım, $a_1-a_2$ arasında 10 tane yol vardı bunlara $y_{1,1},y_{1,2},...,y_{1,10}$ diyelim, $a_2-a_{n+1}$ arasındaki farklı yolların sayısına ise $\gamma_{n-1}$ kadar diyelim. $y_{1,1}$ yolunu ve $\gamma_{n-1}$ yolunu kullanmakla $y_{1,2}$ yolunu ve $\gamma_{n-2}$ yolunu kullanmak aynı sayıda olduğundan tümevarımın 1. adım için herşey yolunda, şimdi 2. adım olarak ilk yolları ortadan kaldırıp aynısını geri kalan $n$ nokta için uygulayalım, ilk adımdaki sonuç burada dageçerli olur. şimdi ilk $k<n$ yolu kaldırıp tümevarım varsayımımızı kabul edip, ilk $k+1<n$ yolun kaldırılmış haline bakalım, ilk sonucu kullanarak, $a_k-a_{k+1}$ arasındaki her yolun gene eşit kullanıldığı ve $a_{k+1}-a_{n+1}$ arasındaki yolların önemi olmadığı gözükür.

Not: Farklı bir yol diye yazdım, istenilen şekildeki basit tümevarım ispatını da yazacagım, eğer neye tümevarım uygulayacagımı tam kavrarsam.

Answer 1

Genelliği bozmadan, $1$ ile $0$ rakamlarının eşit miktarda olduğunu gösterirsek kanıt biter. $R$ kullandığımız rakamlar kümesi olsun. $U_0 \subset R^n$ içinde $0$ geçen $n$ basamaklı sayıların oluşturduğu altküme olsun, $U_1 \subset R^n$ de içinde $1$ geçenlerin oluşturduğu altküme olsun. $f: R^n \to R^n$ fonksiyonunu bir sayının içindeki $0$'ların ve $1$'lerin yerlerini değiştiren fonksiyon olarak tanımlayalım*. Aşağıdaki üç özelliğin sağlandığını göstermek zor değil.

• $f(U_0) \subseteq U_1$,
• $f(U_1) \subseteq U_0$,
• $f \circ f = id$*

Buradan da $f$'in $U_0$'a kısıtlanışının $U_1$ üzerine birebir ve örten bir fonksiyon olduğu sonucunu çıkarmak zor değil.

*Örneğin $n = 4$ için $f(1021) = 0120$.

*$id$ birim fonksiyon.

Comments

Aslina birebir ve orten olmasindn fazlasini kullanmamiz gerekli. O da sifir miktarini esit miktarda bir rakamina goturmesi... Zaten fonksiyon da bunun uzerine kurulu.