Processing math: 30%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

000001999 yaziminda ondalik rakamlarin esit miktarda gozuktugunu (basakmak sayisindan bagimsiz olarak genellestirebilecegimiz sekilde) ispatlayiniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından  | 1.7k kez görüntülendi

Permutasyon kullanalım.

3 basmaklı kaç farklı sayı yazarız? 10.10.10=1000

peki tüm bu 3 basamaklı sayılardaki rakamlar kaç tane? 103.3 çünkü 1000 satır ve 3 sütün var dolayısıyla 10 rakam olduğu için her rakam 3000/10=300 kere kullanılmış

peki x basamaklı kaç farklı  sayı yazarız? 10x peki bu sayılarda kaç rakam var 10x.x peki her rakam kaç kere kullanılmış? 10x1x

verilen özel bir abc...jkl gibi basmagı bellı bır sayıya kadar olan tum rakamlar kaç tanedir dersek biraz düşünmek gerek ama gene permutasyon ış gorur gıbı.

"10 rakam olduğu için her rakam" dedigin yerde ispatlanmasi gerekeni kullanis olmuyor musun?

Soru kac tane gozukur degil, esit miktarda gozuktugunu ispatlayiniz.

10.10.10 derken permutasyon dedıgım için yazmadım ayrı ayrı,

bu 3 basamaklı bir sayı 0'ı  da ilk  basamaga yazabılıyoruz dersek;

ilk basamaga 10 rakamı da kullanırız,2. basamaga da 10 rakam, ve 3 e de.... permutasyon hesabını yaparken hepsını kullandım ve permutasyonun 10 rakam ve 3 boşlukla yapacagı tum sayıları yanı 000 dan 999 a kadar tum sayıları yazdıgını kullandım. bişey varsaymadım

Sordugum kisim orasi degil. 
10'a bolup 300 buldugun kisimda neye dayanarak 10'a boldun?

10 tane farklı rakam kullandım her bırınden aynı sayıda kullandım

Evet, bunu ispatlayabilir misin? 

Tumevarim kullanilabilir...

Anil buna bir ispat veriver?


Kusurabakma abi, yorumları yazdıktan sonra adam gibi vaktım olmadı.

Motivasyon:

Kombinasyon diyorki (kombinasyonu nasıl ispatlarız şuanda konumuz degil sanırım) elimde x adet farklı eleman varsa bu elemanlardan a<x tanesini seçip bir küme oluşturcaksam bu kümenin eleman sayısı  (xa)=x!a!(xa)! tane olur.

Şimdi 2-d düzlemdeyiz farklı 3 A,B,C noktası seçtim. A'dan B'ye 2, B'den C'ye 3 yol var, bağımlı olaylarından dolayı, A'dan C'ye tam olarak 6 farklı yol seçebiliriz.


Seçim ve bağımsızlığı n basamaklı sayı yazmak için kullanalım.



Varsayım:

 2-d düzlemde n+1 farklı nokta alalım a_1,a_2,...,a_{n+1} şimdi her ardışık a_i noktası arasında tamı tamına 10 tane yol olsun, Her yol, kaçıncı olduğuna bağlı olarak \mod 10'da birbirine denk olsun(yani misal bir f fonksiyonu a_3-a_4 arasındaki 10 farklı yolla, a_7-a_8 arasındaki 10 farklı yolu birebir ve örten şekilde eşliyor). Her ardışık 2li nokta arası yollar diğer ardışık 2li noktaların yollarına bağımlı olduğundan a_1'den a_{n+1}'e kadar toplam 10^n farklı yol varmış deriz,

Tümevarım kullanarak ispat.(tümevarım için ise sadece 1. adımın kullanılması yetiyor, çünkü diğer adımlar için ilk yollar kaldırıldıgı zaman zaten ilk sisteme eş sistem elde ediyoruz.)

şimdi geldi her 2 ardışık nokta arasında tanımladığımız 10lu yollardaki her biricik yolun eşit sayıda kullanıldığını göstermek bunun için a_1-a_2 ve a_2-a_{n+1} noktalarına bakalım, a_1-a_2 arasında 10 tane yol vardı bunlara y_{1,1},y_{1,2},...,y_{1,10} diyelim, a_2-a_{n+1} arasındaki farklı yolların sayısına ise \gamma_{n-1} kadar diyelim. y_{1,1} yolunu ve \gamma_{n-1} yolunu kullanmakla y_{1,2} yolunu ve \gamma_{n-2} yolunu kullanmak aynı sayıda olduğundan tümevarımın 1. adım için herşey yolunda, şimdi 2. adım olarak ilk yolları ortadan kaldırıp aynısını geri kalan n nokta için uygulayalım, ilk adımdaki sonuç burada dageçerli olur. şimdi ilk k<n yolu kaldırıp tümevarım varsayımımızı kabul edip, ilk k+1<n yolun kaldırılmış haline bakalım, ilk sonucu kullanarak, a_k-a_{k+1} arasındaki her yolun gene eşit kullanıldığı ve a_{k+1}-a_{n+1} arasındaki yolların önemi olmadığı gözükür.

Not: Farklı bir yol diye yazdım, istenilen şekildeki basit tümevarım ispatını da yazacagım, eğer neye tümevarım uygulayacagımı tam kavrarsam.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Genelliği bozmadan, 1 ile 0 rakamlarının eşit miktarda olduğunu gösterirsek kanıt biter. R kullandığımız rakamlar kümesi olsun. U_0 \subset R^n içinde 0 geçen n basamaklı sayıların oluşturduğu altküme olsun, U_1 \subset R^n de içinde 1 geçenlerin oluşturduğu altküme olsun. f: R^n \to R^n fonksiyonunu bir sayının içindeki 0'ların ve 1'lerin yerlerini değiştiren fonksiyon olarak tanımlayalım*. Aşağıdaki üç özelliğin sağlandığını göstermek zor değil.
  • f(U_0) \subseteq U_1,
  • f(U_1) \subseteq U_0,
  • f \circ f = id*
Buradan da f'in U_0'a kısıtlanışının U_1 üzerine birebir ve örten bir fonksiyon olduğu sonucunu çıkarmak zor değil.

*Örneğin n = 4 için f(1021) = 0120.
*id birim fonksiyon.
(2.5k puan) tarafından 

Aslina birebir ve orten olmasindn fazlasini kullanmamiz gerekli. O da sifir miktarini esit miktarda bir rakamina goturmesi... Zaten fonksiyon da bunun uzerine kurulu.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,115,726 kullanıcı