Yüksek Mertebeden Türev - Genel Kural Bulma

Question

$f\left( x\right) =\ln x $
$\dfrac {d^{n}f}{dx^{n}}=?$
Sırasıyla türev aldım. Ancak bir kurala ulaşamadım. İlk türev $\dfrac {1}{x}$ sonraki $\dfrac {-1}{x^2}$ sonraki $\dfrac {2}{x^3}$ şeklinde ilerliyor. Payda için genel kuralda ${x^n}$ yazılabilir. Ancak pay için bir kural bulamadım.

Comments

$\frac{df}{dx}=\frac 1x=x^{-1}$

$\frac{d^2f}{dx^2}=(-1).x^{-2}$

$\frac{d^3f}{dx^3}=(-1).(-2)x^{-3}$  şeklinde düşünebilirsin...

---

Genel kural $$\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot n!}{x^n}$$ olabilir mi acaba? (Dipnot: paydayı kontrol etmedim)

---

Cevaplarınız için teşekkür ederim. Sanırım doğru cevap şu:
$\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

---

Evet $n!$'i kontrol etmemişim. Sonuç olarak hepsini sırayla yazıp bir ilişki farketmemiz gerekiyor. Daha metodik bir yolu da vardır (herhalde).

Answer 1

Iddia su: $f(x)=\ln x$ ise $$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$$ olur.  Orneklere baktigimizda duzenin bu oldugunu gorebilmek mumkun fakat ispat icin tumevarim kullanmaliyiz.

Bu $n=1$ icin dogru:  $f(x)=\ln x$ ise $f^\prime(x)=\frac1x$ olur. Ayni zamanda beklenen formulde $n=1$ yazarsak sonuc yine $\frac1x$ demek ki formul $n=1$ icin dogru.

Diyelim ki $n=k\ge 1$ icin dogru ve $n=k+1$ icin dogrulugunu gostermeye calisalim:   Biliyoruz ki $$f^{(n+1)}(x)=(f^{(n)})^\prime (x).$$ Tumevarim kabulunden dolayi $$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}$$ ve bunun turevi $$(-1)^{n-1}(n-1)!(-nx^{-n-1})=(-1)^{n}n!x^{-(n+1)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}.$$ Bu da formule $n+1$ koydugumuzda elde edecegimiz deger. 

Dolayisi ile sezimizi tumevarim ile ispatlamis olduk.

Comments

Hocam türev mertebesi doğal bir sayı değil de negatif veya gerçel bir sayı olabilir mi? Tümevarımda benim hep aklımı karıştıran bu, üstünde oynadığımız değişken doğal sayılarda ise işe yarıyor ama doğal sayılarda olmasa ne yapardık? (Biraz manasız bir soru oldu aslında ama gerçekten merak ediyorum)

---

Turevi genel manada $n\ge 1$ tam satilari icin tanimliyoruz. Negatif olanlari ters turev (belirsiz integral) olarak alabiliriz diye dusunuyorum. Gercel sayilar icin de turev tanimli yarim turev alma da var fakat biz genel olarak pozitif tam sayilar icin kullaniyoruz. 

Tumevarim dogal sayilarda isler cunku tumevarim dogal sayilarin bir aksiyomu... Yani biz onlari duz bir sekilde siralamak istiyoruz. Herhangi bir dizi icin de bunu yapabilirsin. Bir dizi al $a_1$ icin sagliyor mu diye bak, sonra $a_n$ icin saglandigini kabul et ve $a_{n+1}$ icin de goster. durum biter. 

Tabi $n$-lik tupler icinde bunlari yapabilirsin: $(a_{i,1},\cdots,a_{i,n})$ olarak olusan kordinantlar icin de yapabilirsin. Ornegin $\{ a+bi \: | \: a,b \in \mathbb Z^+\}$ icin de yapabiliriz. 

---

Teşekkür ederim hocam:)