$\binom{8}{1}\cdot8+\binom{8}{2}\cdot8^2+\cdots$ Şeklindeki Binom Açılımı Soruları

Question

$\left( \begin{matrix} 10\\ 0\end{matrix} \right) x^{10}-\left( \begin{matrix} 10\\ 1\end{matrix} \right) x^{9}+\ldots +\left( \begin{matrix} 10\\ 10\end{matrix} \right)$ ifadesinin $x= \sqrt {3}+1$  için değeri nedir? gibisinden soruların mantığını kavramış değilim okul bir soru daha yazayım

$\left( \begin{matrix} 8\\ 0\end{matrix} \right) +8\left( \begin{matrix} 8\\ 1\end{matrix} \right) +8^{2}\left( \begin{matrix} 8\\ 2\end{matrix} \right) \ldots 8^{8}\left( \begin{matrix} 8\\ 8\end{matrix} \right)$ işleminin sonucu nedir?

ikiside çok farklı sorular olmasına karşın bir türlü anlamış değilim.

öğretmenime sorduğumda (8+1)^8 gibi bir cevap buldu işlem bile yapmadan (2. soru) son ders olduğu için pekte irdeleyemedim fakat burada nasıl olduğunu güzelce izah edebilecek insanların olduğunu düşünüyorum.latexide ilk kez kullanıyorum inşallah becerebilmişimdir.

Comments

$(x-1)^{10}$ ifadesinin binom acilimini bulabilir misin? Bir de $(x+8)^8$ ya da $(8x+1)^8$?

---

Lütfen başlıklarımızı kabus sorularım ya da acil gibi değil de daha çok içerik belirten şekilde yazalım. Ayrıca $\dbinom{n}{r}$ gibi bir ifadeyi yazmak için \dbinom{n}{r} veya \binom{n}{r} kodlarını kullanabilirsin, ciddi zaman kazandırıyorlar;)

---

Lutfen yorumlara -alim gibi takilar ekleyelim :) yaz-alim gibi...

---

Ekliyorum hocam:) 

Answer 1

Merhaba,

Birinci ifadeyi birazcık düzenleyerek yazacak olursak $$\dbinom{10}{0}\cdot x^{10}\cdot(-1)^0+\underbrace{\dbinom{10}{1}\cdot x^9\cdot(-1)^1}_{\text{- işaretliydi}}+\cdots+\dbinom{10}{10}\cdot(-1)^{10}\cdot(x)^0=(x-1)^{10}$$ olduğunu farkederiz, $x=\sqrt{3}+1$ için bu ifade $(\sqrt{3}+1-1)^{10}=\sqrt{3}^{10}=3^5$ bulunur.

İkinci ifade ise $$\dbinom{8}{0}\cdot8^0\cdot1^8+\dbinom{8}{1}\cdot8^1\cdot1^7+\cdots+\dbinom{8}{8}\cdot8^8\cdot1^0=(8+1)^8=9^8=3^{16}$$ şeklinde bulunur.