integrallenebilme

Question

a<b olmak üzere a,b $\in$ $\mathbb{R}$ ve f: $\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu sınırlı olsun . Bu durumda f fonksiyonunun  $\left[ a,b\right]$  kapalı aralığında integrallenebilmesi için gerek ve yeter şart 

$I\left( f\right)$= $\lim _{\left\| p\right\| \rightarrow 0}\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j--1}\right)$ limitinin var olmasıdır ispatlayınız.

Answer 1

$\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j-1}\right)$ sadece $|| P||$ (bir sayı) ye bağlı (bir veya çok değişkenli) bir fonksiyon değil. O nedenle $\lim _{\left\| p\right\| \rightarrow 0}\sum _{j=1}^{n}f\left( t_{j}\right) \left( x_{j}-x_{j-1}\right)$  yi normal bir limit olarak düşünmemek gerekir, biraz sembolik bir ifade. İntegral tanımında bir de   "$t_i\in[x_{i-1},x_i]$ sayıları nasıl seçilirse seçilsin" (koşulu) sözcüğü vardır. Ayrıca $x_i-x_{i-1}$ de $|| P||$ ye değil, $P$ (bir küme) ye bağlı sayılardır.

(Riemann integralinin alt-üst toplam tanımından geriye dönerek) Şöyle düzenlenebilir  ama yararlı  olur mu emin değilim:

Her $n\in \mathbb{N}$ ve $1\leq j\leq n$ için, için $\Delta_{n,j}(f)=\sup\{f(x):x\in[a+\frac{b-a}n (i-1),a+\frac{b-a}n i]\}-\inf\{f(x):x\in[a+\frac{b-a}n (i-1),a+\frac{b-a}n i]\}(=M_j-m_j)$ olmak üzere:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}n\sum_{j=1}^n\Delta_{n,j}(f)=0$$

olması $f$ nin $[a,b]$ aralığında integrallenebilir olması için gerekli ve yeterlidir. 

Şimdi sağdaki ifade sadece $n$ ye bağlıdır (elbette, limitte, $b-a$ yerine 1 yazılabilir).

 Önermesi doğru olur gibi geliyor bana. (limitin, integralin değeri olmaması bir dezavantaj)

Comments

Alt ve üst Darboux toplamlarının limitleri eşit olduğunda (yani, Sizin yazmış olduğunuz limit sıfıra eşit olduğunda), fonksiyon integrallenendir denir ve ortak limite fonksiyonun integrali denir. Dolayısıyla, hem soruyu soran arkadaşın ve hem de Sizin yazmış olduklarınız, integralin TANIMIYLA ilgilidir. 

Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sınırlı olan bir fonksiyonun Riemann integralinin varlığı için gerek ve yeter koşullardan birisi, söz konusu fonksiyonun süreksizlik noktaları kümesinin Lebesque ölçümünün  0 (sıfır) olmasıdır.

---

Haklısınız. Ben sadece, tanımı eşdeğer (bir limitin 0 olması) şeklinde yazdım