Konu evreni boş olan bir açık önerme var mıdır?

Question

İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenin yerine gelebilecek nesnelere göre doğru ya da yanlış olan ifadelere açık önerme diyoruz. Şu örnekleri ele alalım:

$$p(x):``x^2-1=0"$$ ve $$q(x):`` x, \text{ Türkiye'de akarsu}"$$

Bir açık önermede $x$ değişkeni yerine geldiğinde o açık önermeyi anlamlı bir ifade yapan nesnelerin oluşturduğu topluluğa o açık önermenin konu evreni denir.  Örneğin yukarıda verdiğimiz $p(x)$ açık önermesinde $x$ değişkeni yerine sayılar geldiğinde ve $q(x)$ açık önermesinde $x$ değişkeni yerine de akarsular geldiği zaman anlamlı bir ifade elde ederiz. Dolayısıyla bir  $p(x)$ açık önermesi verildiğinde bu $p(x)$ açık önermesine ilişkin konu evreni -özel olarak belirtilmedikçe- $$E:=\{x|p(x)\vee p'(x)\}$$ olarak ele alınır. Şimdi sorum şu: Konu evreni boş olan bir açık önerme var mıdır?

Comments

Bence, bir açık önerme yazan kişinin, o önermenin değişken(ler)i için, evrensel kümeyi seçme  özgürlüğü de olmalı. 

"Olabilecek en geniş evrensel küme" her zaman "uygun" seçim olmayabilir.

"En geniş" evrensel kümeyi değil, duruma uygun bir evrensel küme seçmek  pratikte daha kullanışlı geliyor.

Bazan fonksiyonların da en geniş tanım kümelerini değil de kasten daraltılmış tanım kümelerini kullanıyoruz (örneğin ters trigonometrik fonksiyonları tanımlamak istediğimizde).

Bana göre bir açık önermenin doğru veya yanlış olduğu "şey" ler kümesi ("küme olur mu?" sorusu da var) tam net değil sanki (en azından kişinin bilgisi ile sınırlı)

Ben $p(x): x^2+1=0\text{ denkleminin en çok iki kökü vardır }$

açık önermesinde (bu sorudaki anlamda) evrensel kümeyi tahmin edemiyorum. 

$\mathbb{C}$ mi? $\mathbb{H}$ mu? $\mathbb{O}$ mu? Başka bir küme mi?

(doğruluk değeri de bu tahmine göre değişiyor)

---

$p(x):"x\neq x$" önermesi için konu evreni boş değil mi?

---

Bu açık önermenin konu evreni "=" ilişkisinin tanımlandığı nesnelerin kümesi olabilir. 

Mesela kümelerde "eşitlik" ilişkisi olduğu için konu evreni kümeler olabilir.

Mesela fonksiyonlarda "eşitlik" ilişkisi olduğu için konu evreni fonksiyonlar olabilir.

Mesela sayılarda "eşitlik" ilişkisi olduğu için konu evreni sayılar olabilir.

Yani kısacası $p(x)$ açık önermesinin konu evreni boş küme değildir.

---

Birinci dereceden mantikta onermeler, konu evreni olmadan mana ifade etmezler. Onermeler isin syntaxi, konu evreninde yorumlama ise semantigidir.

Mantiksal bir cumleyi ancak bir konu evreninde yorumlayarak bir dogruluk degeri atayabiliriz.

"sonsuz tane asal vardir" cumlesi dogal sayilar icin dogru iken cift sayilar kumesi icin dogru degil.

 

sunu wikipediadan aldim

An interpretation of a first-order language assigns a denotation to each non-logical symbol in that language. It also determines a domain of discourse that specifies the range of the quantifiers. The result is that each term is assigned an object that it represents, each predicate is assigned a property of objects, and each sentence is assigned a truth value. In this way, an interpretation provides semantic meaning to the terms, the predicates, and formulas of the language. The study of the interpretations of formal languages is called formal semantics. What follows is a description of the standard or Tarskian semantics for first-order logic. (It is also possible to define game semantics for first-order logic, but aside from requiring the axiom of choice, game semantics agree with Tarskian semantics for first-order logic, so game semantics will not be elaborated herein.)

The domain of discourse D is a nonempty set of "objects" of some kind. Intuitively, a first-order formula is a statement about these objects; for example, ∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists xP(x)} states the existence of an object x such that the predicate P is true where referred to it. The domain of discourse is the set of considered objects. For example, one can take D {\displaystyle D} to be the set of integer numbers.