Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

$f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}, f(x,y)=2^{x-1}(2y-1)$ fonksiyonunun birebir olduğunu nasıl gösterebiliriz.

Lisans Matematik kategorisinde (190 puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

İPUCU: $$(x,y)\neq (x',y')\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$$ önermesinin doğru olduğunu göstereceğiz.

$$(x,y)\neq (x',y')$$$$\Rightarrow$$$$(x\neq x'\wedge y=y') \vee  (x=x'\wedge y\neq y')\vee  (x\neq x'\wedge y\neq y')$$

I. Durum: $x\neq x'\wedge y=y'$ olsun.

II. Durum: $x=x'\wedge y\neq y'$ olsun.

III. Durum: $x\neq x'\wedge y\neq y'$ olsun.

Sorulariniz hangi kategoride olursa olsun sorulariniza icerik eklemeniz gereklidir. 

İpucu yeterli oldu. Birebirliğini gösterdim. Örtenliğini nasıl gösterebilirim.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

I. Durum: $x\neq x'\wedge y=y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\neq x'\Rightarrow 2^{x-1}\neq 2^{x'-1} \\ \\ y=y'\Rightarrow 2y-1=2y'-1 \end{array} \right\}\Rightarrow 2^{x-1} (2y-1)\neq 2^{x'-1}(2y'-1)\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$

$-----------------------------------$

II. Durum: $x=x'\wedge y\neq y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x= x'\Rightarrow 2^{x-1}=2^{x'-1} \\ \\ y\neq y'\Rightarrow 2y-1\neq 2y'-1 \end{array} \right\}\Rightarrow 2^{x-1} (2y-1)\neq 2^{x'-1}(2y'-1)\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$

$-----------------------------------$

III. Durum: $x\neq x'\wedge y\neq y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\neq x'\Rightarrow 2^{x-1}\neq 2^{x'-1} \\ \\ y\neq y'\Rightarrow 2y-1\neq 2y'-1 \end{array} \right\}\overset{?}{\Rightarrow} 2^{x-1} (2y-1)\neq 2^{x'-1}(2y'-1)\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y')$

(11.4k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Aritmetiğin temel teoremi sayesinde, her doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz. Ve bu çarpanlara ayırma tek şekilde yapılır. Yani Iki sayının asal çarpanlara ayrımı farklıysa, aynı sayı olamazlar.

Bu da bize her sayıyı "$2^{a} \cdot \text{ bir tek sayı}$" şeklinde yazabileceğimizi söyler. Tanımladığın fonksiyonun örten olmasının sebebi budur.

Aritmetiğin temel teoremi aynı zamanda yukarıdaki yazılımın tek bir şekilde yazılabileceğini söyler. Bu da fonksiyonun birebir olması demektir.



(2.5k puan) tarafından 
20,247 soru
21,770 cevap
73,412 yorum
2,131,483 kullanıcı