$y=x+m$ doğrusu $f(x)=x^2+2x+5$ parabolünün tepe noktasından geçmektedir. Buna göre $m$ kaçtır?

Question

biliyorum basit bir soru ama mantığını kavrayabilmiş değilim ve de çözemedim. tepe noktasından geçince ne oluyor yani ?

Comments

Tepe noktası dediğin aslında bu fonksiyon için çukur noktası sanırım. $r=\dfrac{-b}{2a}$ veya $f'(x_0)=0$ veren $x_0$ noktasını bulur ve bu noktayı $y=x+m$ fonksiyonunda yazıp $f(r) \quad \text{veya} \quad f(x_0)$'ı $y$ yerine yazarsak cevap bulunur.

---

Yani parabolün tepe noktası doğrunun üzerinde. Tepe noktası doğru denklemini sağlar demektir. Bu parabolün tepe noktasını bulabilirsiniz değil mi?

Answer 1

1.Yol:

$y=ax^2+bx+c$ şeklindeki bir parabolün tepe/çukur noktası $r=\dfrac{-b}{2a}$ iken $(r,f(r))$'dir.

O zaman $r=\dfrac{-2}{2}=-1$ ve $f(-1)=4$'tür. 

Yani $y=x+m$ doğrusu $(-1,4)$ noktasını sağlıyor, o zaman $(x,y)=(-1,4)$ verip $4=m-1$'den $m=5$ bulunur.

2.Yol:

2'nci ve daha çekici bir yol ise tepe/çukur noktasını bulmak için türev almak $f'(x_0)=0$ olan noktayı buluruz. ($x_0=r$ oluyor zaten) 

$(x^2+2x+5)'=0 \Rightarrow 2x+2=0 \Rightarrow x=-1$

Yani parabolün tepe/çukur noktası $(-1,4)$ çıktı; buradan $m=5$ aynı biçimde bulunur.