Bernoulli sayılarının tanımını kullanarak $B_1$ hariç geriye kalan tek Bernoulli sayılarının sıfır olduğunu gösteriniz.

Question

Bernoulli Polinomları:$\frac{ze^{zx}}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}B_n(x)\frac{z^n}{n!}$,$|z|<2\pi$

Özel olarak $x=0$ için $B_n(0)=B_n$ Bernoulli sayıları

$B_0=1$ , $B_1=-\frac{1}{2}$ , $B_2=\frac{1}{6}$ , $B_3=B_5=...=B_{2n+1}=0$ , $B_4=-\frac{1}{30}$ ...

Answer 1

Bir $P$ polinomu icin $P(x)-P(-x)$ denilen tek kuvvetlerinin ve katsayilarinin iki katlarindan olusur. Bunu burada da uygulayabiliriz. $$\dfrac{t}{e^t-1}-\dfrac{(-t)}{e^{-t}-1}=-t=-t+0t^3+\cdots$$ oldugundan istenen elde edilir.