Question

$f(x)=x^2-4x+c$ parabolü ile $y=2x+5$ doğrusunun kesiştiği iki nokta $A$ ve $B$ olduğuna göre, $[AB]$ kirişinin orta noktasının ordinatı kaçtır?

Answer 1

 Denklemleri  eşitleyip  kesişme noktalarını buluruz.

2x+5 = x^2-4x+5  

x(x-6) = 0

x=0  ve  x=6    olup    (0,5)   ve  (6,17)  ortak  noktalar.

Orta nokta:  (0+6)/2  = 3     ve   (5+17)/2 = 11     yani  (3, 11) dir.

Comments

Çok özür dileyerek soruyu düzeltiyorum parabolün denklemini sonunda +5 değil +c olacak. Bu durumda sonuca nasıl ulaşılır acaba?

Answer 2

Elimizde $f(x)=x^2-4x+c$ parabolü ve $y=2x+5$ doğrusu var. Bu parabol ile doğrunun kesim noktaları $$x^2-4x+c=2x+5$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2-6x+5-c=0$$

denkleminin kökleri olacaktır. Bu denklemin köklerine $a$ ve $b$ dersek sorunuzun cevabı $$\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{a^2-6a+c-5+b^2-6b+c-5}{2}=\frac{a^2+b^2-6(a+b)+2c-10}{2}\ldots(1)$$

olacaktır. $a$ ve $b$ $$x^2-6x+5-c=0$$

denkleminin kökleri olduğundan

$$a+b=6 \,\ \text{ve} \,\ a.b=c-5$$ olur. Geriye birşey kalmadı. Bunları $(1)$ nolu denklemde yerine yazarsanız sonucu kolayca bulabilirsiniz.

Not: $a+b=6 \,\ \text{ve} \,\ a.b=c-5$ olduğundan $a^2+b^2$'yi $c$ cinsinden bulabilirsiniz.