Biçimsel Kuvvet Serileri İle İlgili

Question

$1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots$ şeklinde giden bir biçimsel kuvvet serisini tersinir polinomu $1-x$ ile çarpıp böldüğümde $\dfrac{1}{1-x}$ elde ediyorum. Ancak başka bir bilgi kullanarak yazacak olursam 

$\dfrac{1-x^{\infty}}{1-x}$ sonucuna ulaşıyorum ve $-1<x<1$ için $x^{\infty}$'nin $0$ olacağının farkındayım ama tersinir polinom ile çarpıp böldüğümde $x^{\infty}$'nin $0$ olduğu sonucuna ulaşıyorum. $x$ için $-1<x<1$ gibi bir şart koymamış olmama rağmen, bunun sebebi nedir? Acaba sayıların $\infty$'uncu kuvvetiyle ilgili bilmediğim bir durum mu var?

Comments

Soru başlığında belirttiğin gibi bunlar biçimsel nesneler. $x$ de bir sayı değil.

Ideal nedir biliyor musun? $x^\infty$ ile gösterdiğin şeyin sıfır olmasını, $$\bigcap_{n=1}^\infty (x^n)$$ kesişim idealinde sıfırdan başka eleman olmaması ile açıklayabilirsin.

---

Çok az biliyorum hocam, kesişim idealini biraz açabilir misiniz?

---

$$(1-x)(1+x+x^2+\cdots)=1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^n$$ olarak dusunerek su soruyu soralim $n>1$ icin $a_n$ degeri ne olur. 

---

$0$ olur çünkü  aynı üsse sahip terimler en yüksek dereceli terime kadar $0$ katsayısı alır sabit terim dışında (zaten onu dışarı almışsınız). Eğer sonsuza kadar gidiyorsa da en yüksek dereceli terim var olamayacağı için  $a_n$ değeri sıfır olur. Sanırım ben sorunumu anladım $x$ ı önce nesne kabul edip daha sonra ama şu sayı olsa böyle olmaz mıydı gibi yaklaşmışım $x$ zaten bir sayı belirtmiyordu. Yorumlarınız için teşekkür ederim:)