Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
2.7k kez görüntülendi

 EBOB u da bir komleks sayı ise ispatı hakkında ne söylenebilir ?

Serbest kategorisinde (55 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 2.7k kez görüntülendi

Bu soruyu rasyonel sayılar cismi $\mathbb{Q}$ için sorsak nasıl yanıt verebiliriz? Bu konuda bir fikriniz var mı?

Kompleks sayıları ve rasyonel sayıları ikililer şeklinde ifâde etmek mümkündür. Böyle bir tanımlama ile, yapısal açıdan aşağıda yazılanların uygulanması mümkün olmalı.  

Rasyonel sayılarda;

Adım1)Paydalar eşitlenir.
Adım2)Obeb soruluyorsa, sadece payların obebi alınır.
Okek soruluyorsa sadece payların okeki alınır.
Adım3)Paydaya genişletilmiş payda yazılır ve oranlanır


Örnek: 3/4 , 1/3 , 5/6 rasyonel sayıları verilsin..

Payda eşitleyelim: 9/12 , 4/12 , 10/12

Obeb(3/4 , 1/3 , 5/6) = Obeb(9,4,10)/12 = 1/12

Okek(3/4 , 1/3 , 5/6) = Okek(9,4,10)/12 = 180/12 = 15

Ya da kısa yol olarak payda eşitlemeden bir yöntem var; 

PaylarınEKOKU/PaydalarınEBOBU = Sayının Ekoku , tersini alındığında da ebobu bulunur.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$\mathbb Z[i]=\{a+ib: a, b \in \mathbb Z, i^2=-1\}$ kümesine Gauss tamsayıları (GT) deniyor. Bu sayılar için bölünebilmenin tanımı şöyle veriliyor:

Tanım: $\omega, z$ GT olsunlar. $z=v\cdot\omega$ eşitliğini sağlayan bir $v$ GT varsa, o zaman, $\omega$, $z$'yi bölüyor denir ve $\omega|z$ yazılır.  $\omega$'ya $z$'nin böleni denir. 

İleride lâzım olacak bir kavram da norm'dur ve tanımı kompleks sayıların normunun karesidir: 

Tanım: $z=x+iy$ GT olsun. Norm $N(z)=|z|=x^2+y^2$ şeklinde tanımlanır. Normu $1$ olan GT'ye birim denir. 

Normun önemli ve kolaylıkla isbât edilebilecek bir özelliği çarpımsal olmasıdır: $N(a\cdot b)=N(a)N(b)$. 

Burada da Öklit algoritmasına benzeyen bir bölme algoritması vardır. Yalnızca, kompleks sayılar sıralı olmadıkları için burada, normların küçüklüğü-büyüklüğü belirleyici oluyor:

Teorem (Öklit Bölme Teoremi): Sıfırdan farklı her $x, y$ GT'si için $q, r$ GT'leri vardır, öyle ki $N(r)<N(x)$ ve $x=qy+r$. $y$, $x$'i ancak ve ancak $r=0$ ise böler.

Bu teorem kullanılarak, bölüm ve kalanlar da bulunabilir:

Öklit Bölme Teoremi Algoritması:

Sıfırdan farklı her $x,y$ GT'si için bölüm $q$ ve kalan $r$ GT'leri bulmak için âdî anlamda bölme yapıp $x/y=u+iv$ şeklinde yazılır ve $u, v$ sayıları kendilerine enyakın $U, V$ tamsayılarına yuvarlanırlar. Sonra da, aranan sayılar $q=U+iV$ ve $r=x-qy$ şeklinde bulunur. 

Artık EBOB'un tanımını verebiliriz:

Tanım (EBOB): İki GT $z, \omega$'nın ortak böleni, bu iki sayıyı bölen $y$ sayısıdır. En büyük ortak bölen ise bu ortak bölenlerin normu en büyük olanıdır.

Burada önemli bir fark var. İki GT'nin birden fazla EBOB'u olabilir. $A$ kümesi $z, \omega$'nın EBOB'larının kümesi olsun. Eğer, $N(z)\geq N(\omega)$ ise Öklit algoritmasından $z=q\omega+r$ yazılır. Eğer $g\in A$ ise yani $\omega$ ve $r$'nin EBOB'u ise o zaman, kalan sıfır oluncaya kadar bu devam ettirilir.

Çok lâf kafa şişirir. Bir örnekte görelim:

Örnek: $\frac{3+2i}{1+i}$'nin EBOB'unu bulalım. Önce bölme algoritmasının uygulayalım: $$\frac{3+2i}{1+i}=\frac{5}{2}-i\frac{1}{2}$$ Buradan yuvarlamadan sonra bölüm $q=2-i$ bulunur; yâni, $U=2, V=-1$. Dolayısıyla, $$3+2i=(2-i)(1+i)+i$$ şekline yazılır. $(1+i)=(1-i)i$ şeklinde yazılabildiği için: $$3+2i=(2-i)(1-i)i+i=[(2-i)(1-i)+1]i$$ hâlini alır.

Sonuçata ne alındı?

$$3+2i=(2-i)(1-i)i+i=[(2-i)(1-i)+1]i$$

$$(1+i)=(1-i)i$$ Bu iki ifâdeden, EBOB'un $i$ olduğu görülür. $N(i)=|i|=-1$ olduğundan bu iki sayı aralarında asaldır.  

Tamsayılarda yaptıklarımızın güzel bir genişlemesi!

(1.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,138,418 kullanıcı