Üçgende Açı Bulma Sorusu

Question

Bir $ABC$ üçgeninde $m(BAC)=80$ ve $m(ABC)=50$ 'dir. Üçgenin $[BC]$ kenarı üzerinde 

$m(BAD)=50$ olacak şekilde bir $D$ noktası ile $[AC]$ kenarı üzerinde $m(ABF)=30$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. Buna göre $m(BFD)$ kaç derecedir?

 Bu soru için şöyle bir çözüm yaptım:

$[DC]$ kenarını $A$ noktası üzerine $D$ noktasını $D'$  isimlendirerek kopyaladım $m(BD'A)=100$ ve $m(D'BA)= 50$ oldu. Yani $ADC$ üçgenini ters çevirip $[AB]$ kenarı üstüne kopyaladım. (İkizkenar üçgen olduğu için 80-50-50) $m(AFD)=70+\alpha$ olduğu için (Bu arada $m(BFD)=\alpha$ demiştim.  $80$ 'lik $m(BAC)$ açısına kopyaladığım için bu köşeyi, geri kalan kısmına $\alpha-10$ dedim. Elimde $BD'A$ üçgeni var ve bu üçgenin iç açıları $100$ $50$ ve $\alpha-10$ o zaman $\alpha=40$ dedim. Altına fotoğraf da atıyorum. Çizimi yapabildiğim kadar özenli yapmaya çalıştım. (Bence metin kendini az çok açıklayabiliyor)  

Sormak istediğim soru şu; bu tip geometri soruları için çok sayıda farklı çözüm bulunabiliyor, ben de nasıl çözümler çıkabilir merak ediyorum ancak kendi becerilerim beni bu çözümün ilerisine götürmüyor, sizin çözüm fikirlerinizi ve önerilerinizi alabilir miyim?

Answer 1

Çözümünü pek anlamadım ama şöyle bir yol önerilebilir: $ADF$ üçgeninin $AF$ ye göre simetriğini çiz. Bu simetrik üçgen $AFD′$ olsun.Bu durumda $ADD′$ üçgeni eşkenar ve $BDD′$ üçgeni ikizkenar olur. $D′$ noktasını $F$ noktası ile birleştirirsen(simetri aldığımızdan aslında zaten birleşik durumda) taban açıları $20$ derece olan $DFD′$ üçgenini elde edersin. Aradığın açı tepedeki dış açı olduğundan cevap $20+20=40$    derece olur.

Comments

Çok anlaşılır ve pratik bir cozum olmuş hocam. Sağolun:) Benim yaptığım da ADC üçgenini AB ye yapıştırıp AFD açısını A köşesinde tespit etmekti.(ama A açısı 80 derece olduğu için geri kalanina $\alpha -10$ demiştim.)

---

Deniz şeklini daha anlaşılır ve doğru çizip gidiş yolunu daha açık anlatabilir misin? Çünkü şeklin sorunlu; en azından $AC$ yi doğrusal uzatmışın gibi gözüküyor ve neden $AK=FK$ olsun ki? Böyle aldığını varsayarsak bu durumda $BKF$ üçgeni $ADF$ ye eş olmalı. Bu da verilerden çıkmıyor. Bunun için $FK=DF$ olduğunu bilmen gerekir. Öyle olursa da yanıtın $70+\alpha=130$ oması gerektiğinden $\alpha=60$  derece çıkar. Çözümüne bir daha bak bence.

---

Zaten iki tane FK cizmisim hocam onu silecektim atmadan önce ama unutmuşum sağolun.

---

D'AF ve DAF üçgenleri birbirine eş olur diye düşündüm. (Tabii bu sırada değil ama)

---

Yeni fotoğraf koydum sorunun başına, daha temiz oldu sanırım. Eski fotoğrafı silemiyorum ama:(

---

Bu soruları hiç yapamıyorum, yapabilen birilerini görmek güzel.

---

Sonuç olarak çözümün hatalı. Şekiller dursun bence. Şafak Hocam sizi aktif görmek güzel. İyi dileklerimle...

---

Daha dikkatli inceleyince $\alpha$ hem $40$ hem $50$ hem de $60$ çıkabiliyormuş benim çözümümde. İyi ki sormuşum, sağolun hocam:)

---

Merhaba Alper Hocam.

$DFD'$ üçgeninin taban açı ölçülerini $20^0$ nasıl buldunuz? Eğer çözümde belirttiğiniz yolla çizim yapılırsa  $B,F,D'$ doğrusal oluyor. O zaman da işler iyice karışıyor.

Ama $D$ noktasından $AC$'ye inilen dikmenin $BF$' nin uzantısını kestiği noktayı $D'$ alırsak sorun çıkmıyor.Yani $ADF$ üçgeninin $AC$ kenarına göre simetriğini alarak değil de,$D$ den inilen dikmenin $BF$'yi kestiği noktayı düşünmek sanki işi daha kolaylaştırıyor gibi.

---

Safak, neden aktifsin, anlatsana biraz...

---

Ortalamada çok aktif değilim. Arada sırada aktikleşiyorum.

---

Merhaba Mehmet Hocam. $AD=BD=AD'=DD'$ eşitliklerini gördüyseniz $BDD'$ ikizkenar üçgeninde $<DBB'=20$  derece olduğundan $<DD'B=20$ derece olduğu görülür. $AC$  ye göre simetri aldığımızdan $AC$ dik  $DD'$ olur ve dolayısıyla $DFD'$  üçgeni taban açıları $20$ derece olan bir ikizkenar üçgen olarak elde edilir. Bu durumda $B,F,D'$  noktaları doğrusal olurlar çünkü $BDF$  üçgeninden açı hesabı ile  $20+120+\alpha=180$  olduğundan $\alpha=40$  ve $DFD'$ üçgeninde açı hesabı ile $20+20+<DFD'=180$  olduğundan $DFD'=140$  ve dolayısıyla $DFD'+\alpha=180$ olduğundan $B,F,D'$  noktaları doğrusal çift oluştururlar(bir doğru üzerindedirler). Sizin dediğiniz gibi yani $D$ noktasından $AC$  ye dikme inilen dikmenin $BF$ uzantısı ile kesiştiği noktaya $D'$ diyerek çözüme gittiğiniz durumda $BDD'$  üçgeninin ikiz kenarlığını ve  $ADD'$  üçgeninin eş kenarlığını görmeniz biraz daha zor olur diye düşünüyorum. Simetri aldığımızda yapılan çözümün kestirme olduğu kanaatindeyim. $D$ noktasının $AC$  ye göre simetriği alınarak da bir çözüm yapılabilir ancak bu durumda $B,F,D'$  noktalarının doğrudaş olduğunu göstermek daha zordur.