Analitik geometri

Question

K(-3,5), M(1,7) noktaları ile x ekseni üzerinde bir N noktası alınıyor.
Buna göre ||KN| -|MN||  farkının en büyük olması için N noktasının apsisi kaç olmalıdr?
A)-13    B)-12    C)-11    D)-10    E)-9

Cevap -13 verilmiş.
Verilenlerden ordinat sıfır olacağından N'nin apsisi x olursa
$\vert$$\sqrt{(x+3)^2+5^2}-\sqrt{(x-1)^2+7^2}$$\vert$
ifadesinin en büyük değerini bulmak gerektiğini düşündüm.
Ama buradan bir yere varamadım.
Burada en büyük değer yok da şıklar içindeki en büyük değer mi soruluyor,tam çözemedim.
İlgililere şimdiden teşekkür ederim.

Comments

Bence sekli bir ciz. Bur ucgen olusacak, tabii eger bu üç nokta dogrusal degilse... Zaten bu dedigin deger de dogrusal oldugu durumda geliyor. 

---

Ben de aynı cevabı yazıyordum bu esnade :)

---

Merhabalar sayın Şafak hocam ve sayın @okadaryenidegil.

Şafak hocamın sorduğun $|MN|+|KN|$ en az kaç olur? şeklindeki soruya @okadaryenidegil'in verdiği cevap bence yanlış olmuş. Bu hususta Şafak hocamın sanıyorum yorgunluktan olsa gerek dikkatinden kaçmış. 

$|MN|+|KN|$ nin minimum olmasını sağlayan nokta eğer $x$ ekseni üzerinde ise;

Bu durumda istenen koşulu sağlayan $N$ noktası (Şafak hocanın cevabında uzun uzun anlattı yolla bulunur)  ve N($-\frac{4}{3},0)$ olup, $|MN|+|KN|=\sqrt{(-3+\frac 43)^2+25}+\sqrt{(1+\frac 43)^2+49}=4\sqrt{10}$ olur.

Hayır $|MN|+|KN|$ nin minimum olmasını sağlayan $N$ nokta için bir kısıtlama yoksa,

Bu toplamın minimum olması $N$ noktasının $MK$ doğrusu üzerinde ve $K$ ile $M$ arasında olması gerekir. Böyle olunca da $N$ noktasının koordinatlarını bulmanın bir anlamı yoktur. Çünkü  her durumda $|MN|+|KN|=|KM|=2\sqrt5$ birim olacaktır.

---

Mehmet TOKTAŞ hocam,itirazınızı şimdi görebildim.

Aşağılara doğru yorumlar kısmını dikkatle incelerseniz, ben de aynen sizin gibi MN+KN sorulursa cevabın kök160(yani 4kök10) olacağını söylemişim.

Hocam da bana hak verip, yanlış sormuşum,nasıl sorulursa KN uzunluğuna eşit olur demiş ve ondan sonra cevaba geçmişiz.Ben de MN+KM nin en küçük değeri sorulursa KN uzunluğuna eşit olur demiş ve çözüme öyle geçmişim.İncelerseniz sizin dikkatinizden kaçmış olduğunu görürsünüz.

Teşekkürler,iyi çalışmalar.

Answer 1

Biraz uzun anlattım. Soru bir daha karşına çıktığında aynı mantıkla çözmek daha kısa sürecek.

Bu gibi soruları böyle denklemler kurmadan, şekil çizip, geometrik bir bakış açısıyla düşünmek daha iyi olabilir. Örneğin eskiden popüler olan bir soru vardı. $K$ ve $M$ noktaları yukardaki gibi olsun yine. Soru şu, $K$'dan çıkıp $x$-eksininde ekmek alıp $M$'ye gitmek için izlenebilecek en kısa yol nedir. Resim çizelim (gerçekten çiz bu resmi) ve $M$ noktasını $x$ eksenine göre simetriği $L=(1,-7)$ yer değiştirelim. Şimdi, $x$ eksenindeki bir noktadan $M$'ye gitmekle $L$'ye gitmek için aynı mesafe katedilmeli. O halde sorumuzu $M$ için değil de $L$ için çözsek de olur. Ama bu sefer soru çok daha kolay, çünkü $K$'dan $L$'ye giderken el mecbur $x$ eksenini keseceğiz. Yani soru artık, $K$'dan $M$'ye giden en kısa yolun $x$-eksenini kestiği nokta nedir? İki nokta arasındaki en kısa yolun, o iki noktayı birleştiren doğru parçası olduğunu bildiğimize göre yanıtı hemen bulabiliriz. Resim çizmenin, ya da formülden önce geometrik bakmaya çalışmanın işe yararlığını bu kadar övdükten sonra, senin soruna dönelim.

Bu noktada resim çiz. $K,M$ noktalarını belirle ve rastgele bir $N$ noktası al $x$ ekseni üzerinden. Son olarak da bu noktaları birleştirerek bir üçgen çiz.

Elimizde üç nokta var. $K,M$ ve $N$. Yani bir ne var? Üçgen. Neyle uğraşıyoruz? Üçgenin kenarlarının uzunluklarıyla. O halde alet kutumuzdan isim benzerliği nedeniyle elimize ilk gelen aleti çıkartıyoruz: üçgen eşitsizliği! $|KM|=a, |MN|=b$ ve $|KN|=c$ olsun. Burada $a$ sabit, çünkü $K$ ve $M$ noktaları belli. Diğerleri ise henüz belirsiz. Koşulumuzu yeniden yazalım: $$\text{$|b-c|$ değeri maksimum olsun.}$$ Çıkarttığımız aleti de kullanmanın tam zamanı: Üçgen eşitsizliği der ki, bir üçgenin bir kenarı (biz mesela $KM$ kenarını alalım), en az diğer iki kenarın (bu durumda diğer iki kenar $MN$ ve $KN$ olacak) farkı kadar uzun olmalı, ve iki kenarın toplamından da uzun olmamalı.  Yani, şu eşitsizlik her zaman doğru: $$|b-c|\leq a \leq |b+c|$$ Şimdi $N$ noktasının neresi olması gerektiğini henüz bilmiyoruz ama, en çok kaç olabiliceğini biliyoruz: $a$ kadar. Peki bu ne demek. Elimizde bir üçgen var ve bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunluklarının farkına eşit. O halde aslında elimizde bir üçgen yok. Bu üç nokta aynı doğru üzerinde olmalı. Yani, $N$ noktası $KL$ doğru parçasını uzattığımızda, $x$-eksenini kestiğimiz nokta olmalı.

Şimdi resmine, son satırda sözünü ettiğimiz doğruyu da ekle ve sonra $x$ eksenini kestiği yeri bul.

Comments

Yukarıdaki yanıtı kullanarak soruyu çözdüysen, yeni soru şu: $|MN|+|KN|$ en az kaç olur ve minimum değeri veren $N$ noktasının ordinatı nedir?

---

Şafak hocam ve Sercan hocam çok teşekkürler. Sercan hocamın yorumundan sonra hemen çizim yaptım ve neden doğrusal olmaları gerektiğini düşündüm ve buldum, Şafak hocam sizin de cevabınızla tam oturdu her şey. Sadece üçgen eşitsizliğini yazarken küçüktür yada büyüktür yerine küçük eşit ve büyük eşit kullanmışsınız. Bunu bu soru özelinde yaptınız değil mi? Yani artık ortada üçgen kalmayacağı için(doğrusal 3 nokta oluşacağı için) Hocalarım harikasınız çok çok teşekkürler emeğinize sağlık

---

Eşitlik durumunda dejenere üçgen oluyor, yani üçgen olmuyor ama zaten üçgen eşitsliği düzlemde aldığın her üç nokta için geçerli, ister bildiğimiz gibi bir üçgen oluştursunlar ister bir doğru üzerinde olup içi olan bir üçgen oluşturmasınlar.

---

Şafak hocam yeni sorduğunuz soruya cevapla diyerek cevap veremiyorum nedense. Burdan devam ediyorum. Tam bitti derken kafam yine karıştı. Bu sefer cevap kök 13 değil sanırım.çünkü x in yeri uygun değil buna. Cevap yani toplam kök 160 mı ? Doğru yoldaysam devam edeyim diye soruyorum hocam

---

Neden kökle ilgileniyorsun. Hiç kök hesabı yapmana gerek yok iki durumda da. Birinci durum için ne bulduk, en küçük değeri ancak dejenere bir üçgenimiz varsa elde ederiz, yani üçü aynı hizadaysa. Ondan sonra doğrunun $x$ eksenini kesme noktasını bulmalıyız. (Burası kolay, $M$'den dört birim sola giderken iki birim aşağıya iniyoruz. Yani bir birim aşağı inmek için iki birim sola gitmemiz gerek. $N$'den $x$ eksenine varmak için kaç birim inmemiz gerek. Tabii ki $5$, çünkü $N=(-3,5)$. Beş birim aşağı inerken, eğim aynı olacağı için doğru boyunca, on birim de sola gitmemiz gerek. O halde $-13$'e kadar gitmemiz gerek.)

Pekala, yeni soru için ne yapacağız? Minimum ne olabilir? $c$ kadar olabilir. $c$ kadar olması için ne olmak zorunda? Üçgenin dejenere, yani üç noktanın aynı doğrultuda olması gerek.

---

Hocam KN+MN uzunluğu var elimizde ve N noktasını x ekseni üzerinde nasıl seçiyoruz da bu uzunluk KN ye eşit oluyor, burayı anlayamadım bir türlü

---

Evet, öyle olmaz o, yanlış sormuşum :)

Doğrusu ne olmalı peki sorunun?

---

Hocam cevabın sorusunu bulmakta zorlandım biraz ama üzerinde durduğumuz konudan yola çıkarak şöyle düşündüm :

|MN| +|KM|  en az kaç olur ve minimum değeri veren noktasının ordinatı nedir?

Bu durumda üç nokta yine doğrusal seçilerek c=|KN|<=|MN| +|KM| eşitsizliğinden

≤ |KN|=c|KN|=c

|MN| +|KM|=  $\sqrt{125}$ ve ordinat yine aynı yani -13 olur.

|MN|+|KN| |MN|+|KN|

---

Aynen. Eline sağlık.

---

Eksik olmayın sizin emeğinize sağlık...

---

Ama istenen $|MN|+|KN|$ nin minimum olması

---

Hocam bir tane kısıt var, o da, yine $N$ noktasının $x$ ekseni üzerinde olması. Eğer $x$ ekseni üzerinde olma koşulunu kaldırırsak, sizin dediğiniz gibi $KM$ arasındaki herhangi bir nokta istediğimiz şartı sağlar.

Ancak şimdi $x$ ekseni üzerinde olma kısıtıyla sorulmuş halinin yanıtından biraz kuşku duydum.

---

Ve şu an $KN+MN$ toplamını minimum yapan $x$ ekseni üzerinde bir $N$ noktası istiyorsak, benim yukarıda anlattığım yöntem işe yaramıyor. O yöntem, sizin dediğiniz gibi, $x$ ekseni üzerinde olma şartı yoksa işe yarıyor. $x$ ekseni üzerinde olma şartı olunca yanıt farklı oluyor. 

---

Hocam zaten sorunun orijinalinde KN+MN diye bir ifade yoktu. Siz bu sorudaki eşitsizliğin kullanımını örneklemek adına yeni bir soru yazmak isterken hatalı bir durum oluştu. Üzerinden zaman geçince yazılan ayrıntılar unutuluyor gözden kaçıyor sanırım.Ben de o zaman farklı bir durum oluşacağını ve kök 160 sonucuna ulaşacağımızı yazdım. Sonrasında "nasıl sorsak o sonuca ulaşırız" dediniz ve cevaba soru aradım

---

Evet, ben yanıldım, seni de yanılttım. Neyse ki hatamız Mehmet hocanın dikkatli gözlerinden kaçamadı da fark ettik.