Bir torbada $n$ kırmızı $n$ siyah top var. Torbadan, içinde kalan topların hepsi aynı renk olana kadar geri atılmamak koşluyla birer birer top çekiyoruz. Torbada kaç top kalmasını bekleriz?

Question

Bir torbamız var. İçinde $n$ kırmızı $n$ siyah top var. Torbadan sırayla top çekiyoruz. Örneğin kırmızı çektik, artık torbada $n-1$ kırmızı $n$ siyah top kaldı. Bir tane daha çekiyoruz. Torbada hepsi aynı renk kalana kadar çekiyoruz. 

Örneğin $n-1$ kere top çektik, hepsi kırmızı geldi. Bir kez daha top çektiğimizde topun rengi yine kırmızı olursa duruyoruz ve oyun bitmiş oluyor. Torbada $n$ tane siyah top kaldı.

Ya da sırayla bir kırmızı bir siyah top çekip duruyoruz, bu sefer torbada en son 1 siyah top kalacaktır.

Soru şu : Torbada kaç top kalmasını beklersiniz?

Küçük $n$'ler için hesapladım,

$n = 1$ ise 1 top kalmasını bekleriz tabii ki.

$n = 2$ ise de 1 ve 

$n = 3$ ise $\frac{3}{2}$ top kalmasını bekleriz.

Şıklar da koyayım;

A) Belli bir sabit sayı tane.

B) Aşağı yukarı $log (n)$ tane.

C) Aşağı yukarı $\frac{n}{2}$ tane. 

D) Böyle bir sayı yoktur.

E) Hiçbiri, şu kadar : ...

Not: Kategori lisansla akademik arasında kaldım. Akademikte karar kıldım. Uzmanlar dilerse değiştirebilir.

Dipnot: Soruyu çözen olursa ikinci bir sorum var.

Comments

Beklersiniz derken, matematiksel beklentiden söz ediyor olmalıyız sanırım. Yani, $n$ adet top var, bu oyunu çooooooook uzun süre tekrar tekrar oynuyoruz, kimisinde n/2, kimisinde 2n-1 top kalıyor ama biz bu sayıların ortalamasıyla ilgileniyoruz.

---

Aynen oyle Safak Hocam, yalniz $2n$ adet top var. $n$ kirmizi $n$ siyah.

---

En sonda $k$ tane siyah top kalsın diyelim. O zaman şöyle bir seriyi hesaplamak lazım sanırım: $$<k>=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{(2n-k)!}{n!(n-k)!}$$  

---

Nasıl buldunuz hocam?

---

Hatırlamam lâzım :) 

$k$ siyah top kaldığına göre, $n$ tane kırmızı torbadadır ve $n-k$ tane siyah da bu süreçte çekilmiş olur. 

Yani, $2n-k$ tane top var; $n$ tanesi kırmızı, $n-k$ tanesi siyah. Bu $2n-k$ topu kaç farklı şekilde sıralayabiliriz? Yukarıdaki seri bu sorunun cevabı. Yalnız, paydaya fazladan bir $n!$ koymuşum sanırım.