Hilbert 90

Question

$L/K$ bir Galois genişlemesi ve $N_{L/K}:L^{\times}\longrightarrow K^{\times}$ bu genişlemeye bağlı norm homomorfizması olsun. $L/K$ genişlemesi döngüsel bir genişleme olduğu durumda  $$\ker N_{L/K}=\Big\{\frac{\sigma(a)}{a}:\sigma\in Gal(L/K),a\in L^{\times}\Big\}$$ eşitliğinin sağlandığını ispatlayın.

Answer 1

Soruyu cevaplamadan once norm homomorfizmasinin ne oldugunu hatirlayalim. "norm" ve "galois" diye aradim ama sitede bununla ilgili bir sonuc bulamadim. Umarim tekrar degildir.

1. $N_{L/K}$ grup homomorfizmasi.

$L$ ve $K$ sorudaki gibi olsun ve $G = Gal(L/K)$ diyelim. $$N_{L/K} :  L \to L$$ fonksiyonunu $$N_{L/K}(l) = \prod_{\sigma \in G} \sigma (l)$$ olarak tanimlayalim. Bundan sonra $N_{L/K}$ yerine $N$ yazacagim sadece. Buna biraz dikkatli bakacak olursak, her $\tau \in G$ icin $$\tau (N(l)) = \tau(\prod_{\sigma \in G}\sigma(l)) = \prod_{\sigma \in G} \tau \sigma (l) = N(l)$$ oldugunu goruyoruz. Son esitligin sebebi $G = \{ \sigma : \sigma \in G \}$ ile $\{ \tau \sigma : \sigma \in G\}$ kumelerinin ayni olmasi. Yani, carptigimiz seyler ayni. Carpim, $G$'nin butun elemanlari uzerinden. Ama, eger $L$'nin bir elemani butun $\tau$'lar tarafindan sabitleniyorsa, bu eleman $K$ da olmak zorunda! Demek ki aslinda elimizde fonksiyon, $$N : L \to K$$ seklinde bir fonksiyon. Ote yandan, $l \neq 0$ ise, $\sigma$ bir otomorfizma oldugu icin, $\sigma(l)\neq 0$. Dolayisiyla, butun $\sigma(l)$'lerin carpimi da sifirdan farkli. O halde, $N(l) \neq 0$. Su halde, elimizdeki fonksiyonu  $$N : L^{\times} \to K^{\times}$$ olacak sekilde kisitlayabiliriz. Bundan sonra, fonksiyonumuzun $L^{\times}$'dan $K^{\times}$'a gittigini dusunecegiz. $l_1, l_2 \in L^{\times}$ olsun. $$N(l_1l_2) = \prod_{\sigma \in G} \sigma(l_1l_2) = \prod_{\sigma \in G}\sigma(l_1)\sigma(l_2) = \prod_{\sigma \in G}\sigma(l_1) \prod_{\sigma \in G}\sigma(l_2) = N(l_1)N(l_2)$$ oldugundan, $N : L^{\times} \to K^{\times}$ bir grup homomorfizmasidir.

2. Sorunun cevabi.

Simdi, $L /K$ genislemesinin dongusel oldugunu, yani $G$'nin dongusel bir grup oldugunu varsayalim. $\tau \in G$, $G$'nin bir ureteci olsun. Yani, $G = \{id, \tau, \tau^2, \ldots, \tau^t\}$ ($G$, $t+1$ elemanli elemanliymis diyelim.). $\sigma = \tau^n \in G$ olsun. $a \in L^{\times}$ ve $b = \sigma(a)$ olsun. $$N(b) = \prod_{\alpha \in G} \alpha(b) =  \prod_{i = 0}^t \tau^i(b) = \prod_{i = 0}^t \tau^i (\sigma(a)) = \prod_{i = 0}^t \tau^i (\tau^n (a)) = \prod_{i = 0}^t \tau^{n+i}(a)$$   ve dongusellikten dolayi,  $$\prod_{i = 0}^t \tau^{n+i}(a) = \prod_{i = 0}^t \tau^{i}(a)$$ ama $$\prod_{i = 0}^t \tau^{i}(a) = N(a)$$ O halde, sunu gorduk $$N(\sigma(a)) = N(b) = N(a)$$ Bir baska deyisle, $$N(\frac{\sigma(a)}{a}) = 1$$ Demek ki, her $\sigma \in G$ ve her $a \in L^{\times}$ icin  $$\frac{\sigma(a)}{a} \in \ker N$$

Diger taraf cetrefilli. Daha kolay bir yolu vardir mutlaka, ben goremedim bir turlu. $c \in \ker N$ olsun. Amacimiz, $c$'nin $\frac{\sigma(a)}{a}$ seklinde yazilabilecegini gostermek olacak. Boylece esitligi saglamis olacagiz. Baslayalim. $$f: L \to L$$ fonksiyonunu $$f(a) = c \tau(a)$$ olarak tanimlayalim. $$f(a + b) = c(\tau(a+b)) = c (\tau(a) + \tau(b)) = c \tau(a) + c \tau(b)$$ ve $\lambda \in K$ icin  $$f(\lambda a) = c\tau(\lambda a) = c\lambda \tau(a) = \lambda c \tau(a) = \lambda f(a)$$ Yani, $f$ fonksiyonu $K$-lineer. Dikkatli bakarsak gorebilecegimiz uzere, $$f^2(a) = f(f(a)) = f(c \tau(a)) = c \tau( c \tau(a))= c \tau(c) \tau^2(a)$$ Ayni sekilde, tumevarimla $$f^k(a) = c \tau(c) \tau^2(c) \ldots \tau^{k-1}(c) \tau^k(a)$$ oldugunu gosterebiliriz. O halde, $$f^{t+1}(a) = N(c) \tau^{t+1}(a) = 1. a = a$$ Demek ki, $$f^{t+1} = id$$ . Ve ayrica biliyoruz ki $k< t+1$ icin  $$f^k \neq id$$ Bu durumda, Cayley-Hamilton teoremini kullanarak $f$'nin minimal polinomunun $x^{t-1} - 1$  oldugunu gorebiliyoruz. Bu da $1$'in bir oz-deger oldugunu dolayisiyla, $f$'in bir sabit noktasi oldugunu soyluyor. Yani, $f(a) = a$ olacak sekilde bir $a$ var. Bu ne demek? Bir $a$ icin, $$a = f(a) = c \tau(a)$$ , yani $$c = \frac{a}{\tau(a)}$$ Tam istedigim sey cikmadi, $\tau$ yerine $\sigma = \tau^{-1}$ yazalim ve $a$ yerine $a' = \tau(a)$ koyalim.  $$c = \frac{\sigma(a')}{a'}$$ Istedigimiz de tam olarak buydu.

Comments

Cayley-Hamilton ile $x^{t+1}-1$'i böldügünü göstermiş olmaz mıyız sadece? 

---

Ben de baya darlandim onu yazarken, dun gece yazarken gecerli sebeplerim olduguna inaniyordum. Su an o sebepleri hatirlayamiyorum.