$\mathbb R$'nin kardinalitesinden küçük, $\aleph_0$'den büyük($2$si arasında) kardinaliteler var mıdır?

Question

$\mathbb R$'nin kardinalitesinden küçük, $\aleph_0$'den büyük kardinaliteler var mıdır?

Kardinalite sayılar dizi halinde nasıl ayrılır? Sıra sıra hangi kardinalitenin hangi manaya geldiğini anlayabilir miyiz?


Aklıma takılan en büyük soru, tüm kardinaliteler belli midir? Bu güçleri iyi sıralama olarak yazarken herhangi 2 kardinalite arasındaki diğer kardinalite gücünü belirleyebiliyor muyuz?

Answer 1

Kardinalitesi gerçel sayılar ile doğal sayılar arasında bir küme olmadığı varsayımına süreklilik hipotezi denir. Gödel ve Cohen tarafından kanıtlandığı üzere eğer ZFC aksiyomları tutarlıysa, süreklilik hipotezinin kendisi de değili de ZFC aksiyomlarıyla tutarlıdır. Yani, ZFC aksiyomları tutarlıysa, bu aksiyomlarla böyle bir küme olduğunu ne kanıtlayabiliriz ne de çürütebiliriz.

Comments

ZFC aksiyomlarının tutarlı olmasından ne kastediliyor?

---

ZFC aksiyomlarıyla bir çelişki kanıtlanamayacağı kastediliyor. Bir aksiyom sistemine tutarlı denir ancak ve ancak bu aksiyomlarla bir çelişki kanıtlanamıyorsa. https://en.wikipedia.org/wiki/Consistency

---

Tutarsız bir aksiyom kümesiyle her şey kanıtlanabilir zira bir çelişki her önermeyi gerektirir, mesela $0=1 \rightarrow P$ önermesi $P$'den bağımsız olarak her zaman doğrudur. Dolayısıyla ZFC tutarsız ise zaten bütün önermeleri kanıtlayabiliriz.

---

Teşekkür ederim.