$a,b,c$ birer rakam ve $abc$ üç basamaklı bir sayıdır.
$abc^{a}\equiv 4(mod9)$
$abc^{b}\equiv 5(mod9)$
$abc^{c}\equiv 8(mod9)$ olduklarına göre,
$abc^{abc}\equiv x(mod9)$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Çözüm için yaklaşımım:
$a+b+c\equiv k(mod9)$ olsun. $k\in\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},...,\bar{8}\}$ olacaktır.
$k=0$ ve $k=1$ olmadığı açık olarak görülüyor. $k=2$ için;
$2\equiv 2 (mod9)$
$2^2\equiv4(mod9)$
$2^3\equiv8(mod9)$
$2^4\equiv7(mod9)$
$2^5\equiv5(mod9)$
$2^6\equiv1(mod9)$ olur. Periyodu $6$ olduğundan Burada $a=2,8\quad b=5,\quad c=3,9$ olabilir. Fakat buradan bulunacak $2.1.2=4$ farklı $abc$ sayısının hiç birinde $k=2$ değildir.
deneme ile $k=4,6,7,8$ için sonucun sağlanmayacağını gördüm.
Sadece $k=5$ için
$5\equiv 5 (mod9)$
$5^2\equiv7(mod9)$
$5^3\equiv8(mod9)$
$5^4\equiv4(mod9)$
$5^5\equiv2(mod9)$
$5^6\equiv1(mod9)$ dır. $\varphi(9)=6$ olduğundan,buradan bulunacak $abc$ sayıları için $a=4, \quad b=1,7\quad c=3,9$ olabilir. Bu $1.2.2=4$ değişik $abc$ sayısından $abc=473$ sayısı istenilen koşulları sağlamaktadır. Dolayısıyla,
$473^{473}\equiv 2(mod9)$ dan $x=2$ bulunur.
Not: Bu bir LYS deneme sorusu. Sanıyorum daha kısa ve güzel bir çözümü vardır.