Böyle bir fonksiyon var mı?

Question

Öyle bir $f$:$\mathbb{N}$$\rightarrow$$\mathbb{N}$ fonksiyonu bulun ki $f$ sabit bir fonksiyon olmasın.Fakat $f^{2}$ sabit bir fonksiyon olsun.

 Benim fikrim; 

$f\left(x\right)$=$x^{k}$ sabit fonksiyon​ olsun.

$f^{2}\left(x\right)$=$x^{2k}$ sabit olacak.

$x^{2k}$'nin sabit olabilmesi için $2k=0$'dir.Ve $k=0$ olur.

O halde $f\left(x\right)=x^{k}=x^{0}=1$ (Çelişki)

$\therefore$ Böyle bir fonksiyon bulunamaz.

Comments

Illa $x^k$ cinsinden olmak zorunda degil. Genel degil, ozel bir durum ispati olur bu sadece...

$f$ sabit olmadigindan bir $\{a,b\}$  ($a\ne b$) kumesi $f$'nin goruntu kumesinin alt kumesi olacak. Dolayisiyla da $\{a^2,b^2\}$ de $f^2$'nin goruntu kumesinin icerisinde olur.

Dogal sayilarda $a\ne b$ ise $a^2\ne b^2$ olur. Fakat ta sayilarsa $(-a)^2=a^2$. Dolayisiyla bir parcali fonksiyonla goruntu kumesi tam sayilar kumesi ise boyle bir kume elde ederiz.

---

O vakit $f$:$\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ olmak üzere​ $\left\{a,b\right\}$'dan$\left\{a^{2},b^{2}\right\}$'ye kuralıyla tanımlı fonksiyon bu soruya örnek verilebilir dimi hocam?

---

Bir kural vermedin sanki?

Ornegin, $x<0$ icin $-1$ ve $x\ge 0$ icin $+1$ olarak tanimlarsak karesi sabit olur.

---

Teşekkürler​ Hocam...