esitsizlik

Question

$v_1+v_2+\cdots+v_n=1$  $v_i$ler pozitif reel sayilar ve $a_1,a_2,...,a_n$ pozitif reel sayılar ise 

    $a_1v_1+\cdots+a_nv_n\geq a_1^{v_1}\cdot a_2^{v_2}\cdots a_n^{v_n}$ esitsizliginj kanitlayiniz.

Bu esitsizlik yardimiyla $0<p<1$ ve $x>-1$ için  $1+xp\geq(1+x)^p$ Bernoulli eşitsizliğini kanıtlayınız.

Answer 1

Yukarıdaki ilk eşitsizlik ağırlıklı, aritmetik ortalama geometrik ortalama teoremi.Kanıtlamak için Jensen eşitsizliğinden yararlanabilirsiniz $f(x)=-\ln x$ seçerseniz $f''(x)=1/x^2$ olurki Pozitif reel sayılarda dışbükey dir. $$-\ln(a_1v_1+\cdots+a_nv_n) \le -v_1\ln a_1-\cdots-v_n\ln a_n$$ elde edilir buda $$v_1\ln a_1+\cdots+v_n\ln a_n \leq \ln(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)$$ dir.logaritma özellikleri kullanılarak kolayca 

$$\ln (a_1^{v_1}a_2^{v_2}\cdots a_n^{v_n} )\leq \ln(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)$$ bu da 

$$a_1v_1+\cdots +a_n v_n \geq a_1^{v_1}  a_2^{v_2} \cdots a_n^{v_n}$$  

ki istenen eşitsizlik elde edilmiş olur

Comments

Hmm guzel bir yontm