$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ kuralını veren $f$ polinomunun dört kökü de negatif tamsayılar olduğuna göre $a+b+c+d=2009$ ise $d$'yi bulunuz...

Question

$f\left( x\right) =x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

fonksiyonunun köklerinin dördü de negatif tamsayıdır. 

$a+b+c+d=2009$  olduğuna göre, d kaçtır?

A) 2010 

B)2009

C)1584

D)1056

E)528

(Not: Soruya pek yorum yapamadım. )

Comments

Sanırım $a+b+c+d=2009$  hatalı yazılmış. 

$a+b+c+d=2010$ olursa çözülüyor, cevaplardan biri çıkıyor.

İpucu: verilen, $f(1)$ in değeri. $f$ nin çarpanlara ayrışımını düşün.

---

Sorunun orijinali elimde. Doğru yazdığıma eminim. Ama diyelim ki a+b+c+d=2010 olsun. Çözüm nasıl olur peki ?

---

$f$ yi çarpanlara ayırmayı denedin mi?

---

Çarpanlarına ayrılıyor mu ?

---

Soruda "köklerinin dördü de negatif tamsayı" diyor.

(gerçi öyle olmasa bile gerçel katsayılarla çarpanlara ayrılır ama o işe yaramayabilir)

Answer 1

Yorumlarda da bahsedildiği gibi $a+b+c+d=2009$, $f(1)=2010$ olduğunun göstergesidir. Köklerimiz $x_1,x_2,x_3,x_4$ olsun $x_1\geq x_2\geq x_3\geq x_4$ olmak koşuluyla. $f$ polinomunu $f(x)=1\cdot(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ şeklinde yazabiliriz.

$$f(1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)=2010=67\cdot5\cdot3\cdot2$$ yazılıp ifadeler asal çarpanlarla sırasıyla eşleştirilirse: $$x_1=-1,\quad x_2=-2,\quad x_3=-4,\quad x_4=-66\\ \Rightarrow \prod_{i=1}^{4}x_i=528$$ elde edilir... 

Comments

Kok siralamasini tersten yazmissin.

---

Arada bir yapıyorum böyle çılgınlıklar:) sağolun hocam:)