Dar açılı bir ABC üçgeninde BE ve CF doğru parçaları yüksekliktir.

Question

A ve F noktalarından geçen iki çember BC ye P ve Q noktalarında teğet olsun bu noktalardan Q noktası için B, C ve Q noktaları arasında kalsın PE ve QF doğru parçalarının AEF çevrel çemberi üzerinde kesiştiğini gösteriniz (Shortlisted sorusu)

Comments

Bir seyi bir turlu anlayamiyorum: Eger sozkonusu cemberler \(BC\)'ye teget iseler, o zaman hem \(PE\) dogru parcasi \(BC\) dogrultusundadir hem de \(Q\) noktasi \(BC\) uzerindedir. Dolayisiyla sorudaki dogru parcalari hep \(Q\)'da kesisirler. \(Q\), \(B\)'nin disinda oldugundan \(\triangle AEF\)'nin cevrel cemberi uzerinde bulunmasi hic de mumkun gorunmuyor.

Belki de sunu tam anlamiyorum: "\(A\) ve \(F\) noktalarından geçen iki çember \(BC\)'ye \(P\) ve \(Q\) noktalarında teğet olsun." Benim buradan anladigim iki tane cember var, her ikisi de \(BC\) dogrusuna teget ve her ikisi de \(A\) ve \(F\) noktalarindan geciyor. Dogru muyum yoksa baska bir sey mi anlatilmaya calisiliyor?

Sorunun baska bir sitede linki varsa oradan bakalim mi?

---

İki doğru parçasının çevrel çemberin üzerinde kesişmekle tam neyi kasdediyordisunuz acabâ?

---

teşekkürler siz deyince fark ettim BE  yerine AE yazmışım kusura bakmayın ama isterseniz ingilizce metninide atabilirim

---

Tamam simdi oldu! Daha cozemedim ama cozmek isteyenlere yardimci olmasi icin sorunun cizimini buraya koyayim:

 

Burada \(O\) noktasi \(BC\) dogrusuna \(Q\) noktasinda teget olan cemberin merkezi, \(U\) noktasi ise \(BC\) dogrusuna \(P\) noktasinda teget olan cemberin merkezi. Soru \(S\) noktasinin \(\triangle AEF\) ucgeninin cevrel cemberi uzerinde oldugunun ispatini istiyor. Bir ipucu/cozume yaklasim olarak \(\angle QSP\) acisinin \(\angle BAC\) oldugunu gostermek yeterli (acaba neden?). Resmin daha yuksek cozunurluklu EPS dosyasi ise surada: mk1678.eps (2 kb)

---

Teşekürler kolay gelsin

---

Sorunun İngilizce metnini gönderir misiniz? Halen anlaşılır bir tercümeye sahip değil. Ayrıca hangi yıla ait shortlist sorusudur, bu gibi kaynakları da belirterek gönderirseniz çözüm yazılma şansı artar.

---

Yavuz Kiremici bey, soruyu eksik tercüme ettiğiniz için çözüm ile ilgili yol alma şansımız olmuyor. Keşke sorunun orijinalini ve hangi yıla ait IMO shortlist problemi olduğunu da ekleseydiniz. Verdiğiniz en büyük ipucu SHORTLIST kelimesi oldu. Buradan yazdığınız soruya benzer olanları 1993 ten itibaren araştırarak ilerledim ve 2008 IMO Shortlist G4 olduğunu böylece anladım. 

Problemin orjinal metni: In an acute triangle $ABC$ segments $BE$ and $CF$ are altitudes. Two circles passing through the points $A$ and $F$ are tangent to the line $BC$ at the points $P$ and $Q$ so that $B$ lies between $C$ and $Q$. Prove that the lines $PE$ and $QF$ intersect on the circumcircle of triangle $AEF$.

Problemi bir Türkçe tercümesi: Dar açılı $ABC$ üçgeninde $BE$ ve $CF$ doğru parçaları yüksekliktir. $A$ ve $F$ noktalarından geçen iki çember $BC$ doğrusuna $P$ ve $Q$ noktalarında, $B$ noktası $C$ ile $Q$ arasında bulunacak biçimde, teğettir. $PE$ ve $QF$ doğrularının $AEF$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde kesiştiğini ispatlayınız.

Answer 1

Önce problemin doğru biçimini yazalım:

Problem (2008 IMO Shortlist G4): Dar açılı $ABC$ üçgeninde $BE$ ve $CF$ doğru parçaları yüksekliktir. $A$ ve $F$ noktalarından geçen iki çember $BC$ doğrusuna $P$ ve $Q$ noktalarında, $B$ noktası $C$ ile $Q$ arasında bulunacak biçimde, teğettir. $PE$ ve $QF$ doğrularının $AEF$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde kesiştiğini ispatlayınız.

Çözüm: $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, $A$ dan inen yükseklik ayağı $D$ olsun. $QF$ ve $PE$ doğrularının kesişim noktasını da $L$ ile gösterelim. $AFQ$ ve $AFP$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $BC$ doğrusuna teğet olarak verildiğinden, çemberde kuvvet teoremi gereği $$ |BQ|^2=|BP|^2 = |BF|\cdot |BA| \tag{1}$$ olur. Şimdi $AFHE$ ile $CDHE$ nin birer kirişler dörtgeni oluşundan ve çemberde kuvvet teoreminden dolayı $$ |BF|\cdot |BA| = |BH|\cdot |BE| = |BD|\cdot |BC| \tag{2} $$ elde ederiz.

$(1)$ ve $(2)$ den $ |BP|^2= |BH|\cdot |BE|$ olup $BHP \sim BPE $ benzerliği elde edilir. Böylece $$m(\widehat{BHP})=m(\widehat{BPE}) \tag{3} $$ bulunur.

Buraya kadar problemin çözümünde kayda değer bir ilerleme sağlamış olduk. Şimdiki amacımız $PQFH$ dörtgeninin bir kirişler dörtgeni olduğunu ispat etmek olacaktır. Bunun için $$ |CH|\cdot |CF|= |CP|\cdot |CQ| \tag{4} $$ olduğunu göstermemiz yeterli olur. Bu eşitliği ispat edelim.

$BDHF$ kirişler dörtgeni olduğundan $$ |CH|\cdot |CF|= |CD|\cdot |CB| \tag{5} $$ olur. Ayrıca $(1)$, $(2)$ eşitliklerini de göz önüne alarak

$\ \ \ \ |CD|\cdot |CB|= (|BC|-|BD|)\cdot |BC| =  |BC|^2 - |BD|\cdot |BC| = |BC|^2 - |BP|^2 \\ = (|BC|-|BP|)(|BC|+|BP|) = |CP|\cdot |CQ|$

elde edilir. Böylece $(4)$ ispatlanmış olur. $PQFH$ kirişler dörtgeni olduğundan $$ m(\widehat{FQP}) = m(\widehat{PHC}) \tag {6}$$ olur.

$m(\widehat{BHP}) + m(\widehat{PHC}) $ toplamı $m(\widehat{BAC}) $ ile bütünler, $m(\widehat{BPE}) + m(\widehat{FQP}) $ toplamı $m(\widehat{QLP}) $ ile bütünlerdir. $(3)$ ve $(6)$ açı eşitlikleri göz önüne alınırsa, $m(\widehat{BHP}) + m(\widehat{PHC}) = m(\widehat{BPE}) + m(\widehat{FQP}) $ olur. Buna göre $$m(\widehat{BAC}) =  m(\widehat{QLP}) \tag{7} $$ olur. Bu son eşitlik $A, F, H, E, L $ noktalarının çembersel olduğunu gösterir.

Notlar:

1. Bu tür soruların çözümünde her bir adım incelenerek ilerlenmesinde büyük fayda vardır. Örneğin $(5)$ eşitliğinin ispatında $\cos B$ türünden uzunluk eşitlikleri yazmak oldukça kısa sonuç verecektir. $|BD|= |AB|\cos B$, $|BF|=|BC|\cos B$ v.b. eşitliklerle $(5)$'i ispatlamayı deneyiniz.

2. $(1)$, $(2)$ eşitlikleri $B$ merkezli ve $r=|BP|$ yarıçaplı çembere göre evirtim (inversiyon) kullanımını kuvvetli biçimde çağrıştırmaktadır. Bu türlü bir çözüm yöntemini denemek, ilgilenenlere iyi bir antrenman olacaktır.

3. $(7)$ deki açı eşitliği, aynı yayı gören çevre açıların eşitliğini ifade etmektedir. Kirişler dörtgeni/beşgeni ispatında kullanılan temel tekniklerden biridir. Bu sebeple $(7)$ yi göstermek, problemi çözmeye denktir.