Moduli uzayinin formal tanimi o kadar kolay olmayabilir. Dogru matematiksel tanim icin biraz kategori kurami ogrenip "representable functor" gibi seylerle asina olmak lazim. Neye ihtiyaciniz oldugu ile alakali olarak bu yol biraz mesakkatli gelebilir. Bu konuda
https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/256B/notes/sem-quot.pdf
adresinde bir pdf bulunmakta...
Genel bir fikir vermek gerekirse : Üzerinde calistigimiz nesneleri birbirinden ayirmak icin kullandigimiz bazi degismezler vardir: vektor uzaylarinda boyut, gruplarda altgrup kafesi, vs.
Bir uzaya moduli uzayi demek icin en azindan o uzayin noktalarinin belirli degismezleri sabitlenmis (ornegin cebirsel egrilerde cins, ve isaretli nokta sayisi) objeler ile arasinda birebir bir mutekabiliyet bulunmasidir. Bu inşanin en kolay hali herhalde $n$ boyutlu bir $V$ vektor uzayi icin insa edilen projektif (ya da daha genel hali ile Grassman) uzaydır. Zira her noktasina bir (ya da $n-1$) boyutlu bir vektor alt uzayi karsilik gelir.
$\mathfrak{M}_{g,n}$ uzayinin bir noktasi cinsi $g$ olan $n$ noktası isaretli puruzsuz bir cebirsel egri sinifina karsilik gelir. Burada iki cebirsel egriye aralarinda bir cebirsel isomorfizma varsa denk denir. Buradaki ilk ornek icin eliptik eğrilere bakılabilir. Göz önünde bulundurulması gereken bir nokta, eliptik eğriler ayrıca bir cebirsel grup oldukları için üzerlerinde 1 nokta da (toplamaya göre birim eleman) işaretli olarak gelir, dolayısıyla $\mathfrak{M}_{1,1}$ ile $\mathfrak{M}_{1,0}$ biribiri ile aynı uzaydır.
$\mathfrak{M}_{0,n}$ uzayının inşası biraz kolay. Cinsi $0$ olan (karmasik sayilar uzerinde) sadece 1 tane cebirsel egri var: Rieman küresi, $\mathbb{P}^1$. Riemann küresinin otomorfizma grubu $\mathrm{PGL}(2,\mathbf{C})$. Bu grubun kure uzerine etkisi 3-gecisken (yani herhangi 3 noktayı diledigini 3 noktaya goturmeniz mümkün - buradaki anahtar kelime "cross ratio" - Mumford vd.'nin "Indra's Pearls" kitabı iyi bir kaynak olabilir.) Dolayisiyla $n = 0,1,2,3$ iken $\mathfrak{M}_{0,n}$ sadece 1 noktadan ibaret. $\mathbb{P}^1$ uzerinde 4. noktadan itibaren kontrol yitirildigi icin buradan itibaren nesneyi geriye kalan noktalar belirliyor. Bunu da yaparken "racon" $\mathrm{PGL}(2,\mathbf{C})$'nin 3 gecisken etkisini kullanip secim serbestisi olan ilk 3 noktayi 0,1 ve $\infty$ olarak secmek. Dolayisiyla elimizde $(\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\})^{n-3}$ uzayi kaldi. Ancak bu uzayin icinde alinan bir noktanin herhangi iki koordinati birbiri ile ayni ise isaretli nokta sayimiz $n$ degil $n-1$ olur. Bundan kurtulmak icin de literaturde daha cok "sisman kosegen" (fat diagonal) diye tarif edilen kismin atilmasi gerekir. Tahmin edilebilecegi gibi herhangbiri $X$ kumesi icin $X^n$'in sisman kosegeni $\{x = (x_1,\ldots,x_n) \in X^n \colon x_i = x_j \mbox{ for some }i \neq j\}$ olarak tanimlanir. $\mathfrak{M}_{0,n} ile ilgili en iyi kaynaklardan birisi Birman'in "Braids, Links, Mapping Class Groups" baslikli kitabi oldugunu dusunuyorum.