Modüler Aritmetik

Question

$8^{63}+6^{83}=x(Mod49)$ ise $x=?$

Not:Ögrencinin biri sordu.Uydurma bir soru gibi ama yine de uğraşmakta yarar var.Ben bir şey çıkaramadım.İfadeleri 7 formatın da yazıp sadeşleştirmeye çalışıyorum fakat olmuyor.

Comments

ilk olarak ifade $7$'ye bolunuyor. (ilk girisim bilgisi diyeyim buna).

 $\phi(49)=49-7=42$.

$8^7=1 (49)$  ve $6^7=-1(49)$. Bu bilgiler ile soru kolay cozulebilir.

---

Bunlari nasil buldugumu da anlatayim, ilkini anlatayim sadece hatta: $8^7-1=(8-1)(8^6+\cdots+8+1)$ acilimi ile $49$a bolunecegini rahatlikla gorebiliriz.

---

Tam ayrintili bakamdim ama yanilmiyosam,

$8^7=1(mod49)$

$6^7=-1(mod49)$

Burdan cikmasi lazim

Answer 1

$8 = 7+1$

$6$ = $7-1$ şeklinde yazılabilir. Bu durumda

$(7+1)^{63}  + (7-1)^{83}$ ifadesine binom açılımı uygulanırsa, $49$ un katı olan terimleri bir kenara da ayırırsak,

$(49a + 7.63 + 1) + (49b + 7.83 - 1)$ olur. Bu ifadenin $49$ ile bölümünden kalan $42$ dir.