X'in En büyük değeri

Question

$x+y+z=5$ ve $xy+yz+xz=3$ ise x,y,z pozitif reel sayılar ise x'in maksimum değeri kaçtır.

Not:Cauchy Schwarz ile çözümü yaptım fakat farklı çözümleri olan arkadaşlar varsa önerilerini bekliyorum.

Çözüm 1-)$x^2+y^2+z^2+2.(xy+yz+xz)=25$ ise $x^2+y^2+z^2=19$ gelir.

Cauchy Schwarz yazarsak $(z^2+y^2).(1+1)\geq(y+z)^2$ Bunların yerine x'li ifade yazarsak.

$2.(19-x^2)\geq(5-x)^2$ gelir.Buradan $3x^2-10x-13\leq0$ gelir.Buradan $(3x-13).(x+1)\leq0$ ise $x=(0,\frac{13}{3}]$ gelir. en büyük sayı buradan $\frac{13}{3}$ gelir.

Comments

Nasil yaptigini da icerige ekleyebilir misin rica etsem, gorelim ve biz de ogrenelim :)

---

Ekledim hocam.

---

Tesekkur ederim.

Lagrange Carpani yontemini uygulayabilirsin, burada $\lambda$ ve $\mu$ kullanmak gerekecek. Fonksiyonumuz ne olmali peki? $F(x,y,z)=x$.

Ikinci olarak elinde bir kure var ve onu bir duzlem ile kesistiriyorsun. Geometri kullanilabilir. Ilk olarak sunu dusunursen daha kolay gorebilirsin geolmetrisini: cemberi dogru ile kesistirmek. 

Answer 1

Farklı bir şekilde de çözülebilir (Cebir Analiz karışımı)

$t^3-5t^2+3t-xyz$ polinomunun kökleri : $x+y+z=5$ ve $xy+yz+zx=3$ sağlayan $x,y,z$ (gerçel veya karmaşık) sayılarıdır.

Bu polinomların farkı sabit olduğuna göre, grafikleri ($s$-$t$ düzleminde)  $s=t^3-5t^2+3t=t(t^2-5t+3)$ ( onlardan 3 gerçel kökü olan biri) eğrisininin düşey olarak ($s$ eksenini düşey kabul ediyorum) hareket etmesiyle oluşurlar. (Belli sınırlar arasında! Çok fazla aşağı veya yukarı hareket ettiğinde gerçel kök sayısı bire düşüyor)

(Hepsinin ortak türevi olan) $3t^2-10t+3$ polinomunu iki farklı gerçel kökü ($\frac13$ ve $3$) olduğu kolayca görülüyor. Öyleyse bu eğrilerin tümünün,   türev ile, bir yerel maksimumu, ($t=\frac13$ de)  ve bir yerel minimumu ($t=3$ de) vardır. Bu eğriyi hayal etmek zor değil ("tipik",pozitif başkatsayılı, yerel maksimum ve yerel minimuma sahip 3. derece polinom grafiği). 

Onlardan birinin grafiği aşağıda: (https://www.wolframalpha.com ile çizilmiştir)

Bu eğriyi (üç gerçel köke sahip olma koşulu ile) aşağı yukarı hareket ettirerek gerçel köklerin en büyüğünü (yani $t$ ekseni en sağdaki kesim noktasının koordinatını) nasıl maksimum yapabiliriz?

Bunun için yerel maksimuma eriştiği anda ( $t=\frac13$ iken) $t$ eksenine teğet olması gerekli ve yeterli olduğuna kendinizi inandırabilirsiniz. Aşağıdaki gibi: (https://www.wolframalpha.com ile çizilmiştir)

Öyleyse, 3 gerçel köke sahip ve gerçel köklerinin en büyüğü maksimum olan  polinomumun küçük kökleri $\frac13,\frac13$ (yani $y=z=\frac13$) olmalıdır. Artık maksimum $x$ i bulmak çok kolay.