türev alma sorusu

Question

gerçel sayılarda tanımlı f fonksiyonu her x, y ε R için,

f(x+y) - f(x-y)= 5xy+ 2y

olduğuna göre ,f'(2) kaçtır?

A)12    B)10    C)8    D)6    E)4

kapalı fonksiyonun türevi şeklinde düşündüm lakin ondan sonra  f'(2)' yi nasıl elde edebilecegi mi cıkaramadım... 

Comments

Neler yaptiginizi paylasmaniz gerekir. Forum kurallarini gormediniz mi?

---

bende merak ettim çözümü :)

---

Cevap 6 mi acaba?

Answer 1

Boyle bir fonksiyonun varligini @Amatematik cevabinda gostermis. Sadece o fonksiyonun (sabite bagli olarak) sagladigini da gostermek zor degil. Fakat en az bir tane olmasi onemli. En az bir tane olacak ki elimizde turev alabilecegimiz bir fonksiyon olabilsin. Bos kume icerisinde eglenmeyelim.

Turevin tanimindan yaklasalim. $x=2+\frac h2$ ve $y=\frac h2$ icin $$f(2+h)-f(2)=h\left(\frac{5}2\left(2+\frac h 2\right)+1\right)$$ olur yani $$\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0}\left(\frac{5}2\left(2+\frac h 2\right)+1\right)=6$$ olur. 

Ikinci onemli sey ise bir tanesi icin saglamasi her biri icin saglayacagi anlamina gelmez. Fakat biz bu ispatta fonksiyon ne olursa olsun, yukarida verilen fonksiyondan baska fonksiyon varsa bile her secimde $f^\prime(2)=6$ oldugunu gosterdik.

________
Ek: $x=y=a/2$ icin $$f(a)=f(0)+5(a/2)(a/2)+2(a/2)=f(0)+\frac54a^2+a$$ olur. $f(0)$ degerinin sabit oldugu bilgisini kullanabilir. Hatta her $c$ sabitine karsilik gelen bir $$f_c(x)=\frac54x^2+x+c$$ kuralli fonksiyon bu esitligi saglar ve sadece bunlar saglar. Hepsinin turevi de, buna $F$ diyelim, dogal olarak ayni: $$F(x)=\frac52x+1.$$

Comments

Güzel cozum oldu hocam.

---

hocam cok tesekkurler ufkum açıldı;) yalnız ufakcık bi sorum var;

işlem yükünü hafifletmek için=> ifadenin her iki tarafını "2y" ye bölüp y giderken sıfıra limitini alırsak yine f'(x) i elde ederiz degilmi?

---

Limit var ise evet. Fakat limitin varligini da gostermek gerekli. Ornegin mutlak deger fonsiyonunun sifir noktasinda turevi yok fakat $h\ne 0$ icin $$\frac{|0+h|-|0-h|}{2h}=0$$ olur. Burada bir suru iyi sonuc var. Bir bu turev tanimi ile uyusuyor. iki, turevden gelen limit yok, eksilisi de yok fakat toplami bariz sifir oldugundan limit sifir oluyor. Yani limiti olmayan fonksiyonlari toplayip limit elde edebiliriz. Diye devam edilebilir. 

---

Bir Ek'te bulundum...

---

Cok daha pratik oldu bu hocam emeginize saglik...

Answer 2

Verilen denklemin elde edilebilmesi icin fonksiyonun

$f(x)=ax^2+bx+c$  seklinde olmasi gerekir.Dolayisiyla,

$f(x+y)=a.(x+y)^2+b.(x+y)+c$

$f(x-y)=a.(x-y)^2+b.(x-y)+c$

Bu iki ifade acilip taraf tarafa cikarilirsa

$f(x+y)-f(x-y)=4axy+2by=5xy+2y$ elde edilir.Buradan,

$a=\dfrac{5}{4}$  ve  $b=1$  bulunur. O halde fonksiyon

$f(x)=\dfrac{5}{4}x^2+x$  dir.Buradan,

$f^{'}(2)=6$ bulunur.

Comments

Teşekkür ederim doğru cevap...

---

Neden ikinci dereceden bir denklem olmasi gerekli? (Degil demiyorum).

---

Deneme yanilma:) 

Daha dogrusu x.y li terim elde edebilmek icin.

---

Baska bir fonksiyon varsa ve onun turevi de $5$ ise ne olacak peki?

Answer 3

X göre türev alırsak 

$f'(x+y)-f'(x-y)=5y$ gelir.Y ye göre türev alırsak.

$f'(x+y)+f'(x-y)=5x+2$ gelir.Taraf tarafa toplarsak.

$2.f'(x+y)=5.(x+y)+2$ gelir.$x+y=2$ için $f'(2)=6$ gelir.

Comments

ilk $f^\prime$ $x$ icin turen ikincisi $y$ icin.. Yani farkli dunyalar.. Taraf tarafa toplarken farkli degerler toplanmis oluyor?

---

Tam olarak neyi kast ettiniz anlamadım hocam?

---

$\frac{\partial  f}{\partial x}$ ve $\frac{\partial  f}{\partial y}$ icin ortak $f^\prime$ kullanilmis. Esit olmak zorunda midir bunlar? 

---

Burda sorun yok.

$z=f(u)\ (u=x+y),\ w=f(v)\ (v=x-y)$ olsun.

Çok değişkenli fonksiyonlar için Zincir Kuralından

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\frac{\partial u}{\partial x}=f'(u)\cdot1=f'(x+y),\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\frac{\partial u}{\partial y}=f'(u)\cdot1=f'(x+y)$,

$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{dw}{dv}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(v)\cdot1=f'(x-y),\ \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{dw}{dv}\frac{\partial v}{\partial y}=f'(v)\cdot(-1)=-f'(x-y)$   olur.

Çözümde bunlar kullanılmış.