Formül İspatı , n.(n+1).(n+2)/3

Question

$ 1.2+2.3+3.4+....+n.(n+1) = \frac{n.(n+1).(n+2)}{3} $

formulunun nerden geldigini ve nasil bu formulu yazdiklarini ispatlayabilir misiniz? {Tumevarim veya celiski yontemiyle degil direk sayilardan nerden ciktigi gibi }

Comments

$$\sum_{i=1}^n i(i+1)=\sum_{i=1}^n i^2+ \sum_{i=1}^n i$$ olur. Buradan bulabilirsin.

---

Hocam mesela ;

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

formulunu böyle ;

$= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{n+1}$

$= 1-\frac{1}{n+1} $

$ = \frac{n}{n+1} $

Gibi....

---

Istedigin teleskopik bir toplamsa bunlari da teleskopik toplamlara elbet donusturebilirsin.


Sonucta $i= \frac{1}{2}([(i+1)^2-(i+1)]-[i^2-i])$. Bu da bir teleskopik toplam. 

Meselanin altinda yatani isin acikcasi tam anlamadim.

Answer 1

$1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=1.(1+1)+2.(2+1)+3.(3+1)+4.(4+1)+...+n.(n+1) $

Şeklinde açıp dağılma özelliğini kullanalım

$\overbrace{1.1}^{1^2}+1+\overbrace{2.2}^{2^2}+2+\overbrace{3.3}^{3^2}+3+...+\overbrace{n.n}^{n^2}+n =\overbrace{1^2+2^2+3^2+...+n^2}^{\dfrac{n.(n+1).(2n+1)}{6}}+\overbrace{1+2+3+...+n}^{\dfrac{n.(n+1)}{2}} $

$\dfrac{n.(n+1).(2n+1)}{6}+\dfrac{n.(n+1)}{2}=\dfrac{n.(n+1).(n+2)}{3} $

Ara formüllerden biri;

$1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n=A $

$n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1=A $

taraf tarafa toplayalım.

$\overbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+...(n+1)}^{n tane } =2.A $

$n.(n+1)=2.A $   ve $\dfrac{n.(n+1)}{2}=A $

Diğeri antrenman olsun

Comments

Çok tesekkur ederim hocam sonunda bekledigim cevap :)