Trigonometrik denklemler

Question

$0\leq x < \pi$ olmak üzere,

$2.cosx.cos2x=cosx$ denkleminin kaç farklı kökü vardır?

Ben önce sadeleştirme yaptım (hata burada olabilir belki,bilemiyorum) ve soruyu

$\cos 2x=\cos 60$ haline getirdim daha sonra 

1-) 

$\begin{align*} & 2x=60+2k\pi ,\\ & x=30+180k,\\ & x=30\end{align*} $

buradan bir kök,

2-)

$\begin{align*} & 2x=2k\pi -60,\\ & x=180k-30,\\ & x=150\end{align*} $

olmak üzere buradan da bir kök

toplam iki kök buldum.Fakat kitaba göre $3$ farklı kök varmış.

Comments

sadeleştirme yaptığın için kök kaybı olmuş.

$cosx(2cos2x-1)=0$   olarak düşünmelisin.

---

$cos(x)=0$ durumunu atlanmış.

---

Bu şekilde yapınca

$\cos x\left( 2\cos 2x-1\right) =\cos 90$

$2\cos 2x=90^{0}+1$

gibi bir şey geliyor hocam, anlayamadım.

@dexor hocam,evet onu atlamışım.Fakat şunu merak ediyorum,bu taraftaki cosx ne ise karşı taraftaki cosx de o.Sadeleştirme neden sorun çıkarıyor? 

Ayrıca, soruyu hem sadeleştirmeden hem de sadeleştirerek mi yapmalıyım anlamadım ki.Sadeleştirmesem ulaştığım ilk 2 kökü bulamayacaktım.

---

Yazdığım denklemi sonra;

$2cos2x-1=0$ (bunu bulmuşsun)   ve  $cosx=0$  (bu eksik kalmış) olarak düşünmelisin.

---

Parantezin bir içini bir de dışını sıfıra eşitledik yani.Şimdi oldu, yardımınız için teşekkürler.

Answer 1

$\cos x$'i karşı tarafa atıp bütün ifadeyi $\cos x$ parantezine alalım.

$\cos x\left( 2\cos 2x-1\right) =0$ Bu ifadeyi sıfıra eşitleyen iki ihtimal olabilir, parantezin içini ve dışını sıfıra eşitleyelim.

1-)PARANTEZİN DIŞININ SIFIR OLMA İHTİMALİ $\cos x=0,x=90$ (istenen aralık içinde olmasına dikkat)

2-) PARANTEZİN İÇİNİN SIFIR OLMA İHTİMALİ

$\begin{align*} & 2\cos 2x-1=0,\\ & \cos 2x=\dfrac {1} {2},\\ & \cos 2x=\cos 60\end{align*} $ 

dedikten sonra buradan da iki ihtimal ile 

1-) 

$\begin{align*} & 2x=60+2k\pi ,\\ & x=30+180k,\\ & x=30\end{align*} $

buradan bir kök,

2-)

$\begin{align*} & 2x=2k\pi -60,\\ & x=180k-30,\\ & x=150\end{align*} $

buradan da bir kök gelir. Toplamda $3$ adet kökümüz oldu

Comments

x radyan cinsinden, derece kullanamazsin..

---

$0$ ile $180$ arasındaki değerleri alıyorum işte,istenen tanım aralığını radyandan  dereceye dönüştürüp işlemleri yaptım.Yanlışlık nerede?