$x+y+z=17$ denkleminde $x$, $y$ ve $z$ negatif olmayan tamsayılardır. Denklemin kaç çözümü vardır?

Question

$x+y+z=17$ denkleminde $x$, $y$ ve $z$ negatif olmayan tamsayılardır.

$x>1$, $y>2$ ve $z>3$ durumunda denklemin kaç çözümü vardır?

$x>1$, $y>2$ ve $z>3$ durumunda demediği zaman

$* = 1$ olsun ve $|$ araya kesmek için koyduğumuz şey olsun diyerek

         $x$                  $y$               $z$

$******|******|***** = 17$ 

aradaki kesmek için koyduğumuz şeyleri 19 farklı yere koyabiliriz

o zaman ${19}\choose{2}$ den 171 buldum ancak bunu yanlış buldum sanırım çünkü

$x>1$, $y>2$ ve $z>3$ durumunda dediği zaman cevap 45 arada çok büyük bir fark var

Bu tip soruları nasıl çözebilirim?

    

Comments

Merhabalar

yorumunuz doğru ve yol da tamam gibi

17 adet birlik 2 tane x e 3 tane y ye ve 4 tane z ye verilip geriye kalanlar dağıtılmalı

8 adet birlik * * * * * * * *  ve 2 adet ayraç  |    |  her farklı sıralaması bir x,y,z üçlüsüne denk düşer

yani **|****|**   242 gibi görünse de 4 7 6 ye karşılık gelir (öncekileri ekledik) veya   |**********| 080 gibi görünsede 2 11 4  üçlüsüne denk gelir.  
Aranan, 8 adet birlik * * * * * * * *  ve 2 adet  |    |  farklı sırlaması olup $\frac {10!}{8!.2!}=45$ dir 

kolay gelsin

Answer 1

$x=a+2$,$y=b+3$ ve $x=c+4$ dersek.

$a+b+c=8$ gelir ve $a>-1,b>-1,c>-1$ gelir.Bu 3 sayıdan 2 ayraç kullanıp 8i istediğimiz gibi dağıtacağız.

$||××××××××$ ise $\frac{10!}{2!.8!}=45$ gelir.

Answer 2

Lineer denklem çözümü için ayraç yerine özdeş nesnelerin dağılımı da kullanılabilir;

$x\geq2$ ve $y \geq 3$ ve ayrıca $z \geq 4$ kullanılır şimdi altsınırları çıkaralım;

$x+y+z=17-(2+3+4)$ unutmayalım ki büyük eşit küçük eşit durumlarda bu işlemi yapabiliriz eğer eşitlik ihtimali yoksa o hale getirmeliyiz...

$x+y+z=8$ denkleminin çözümlerini arıyoruz, nesnelerin dağılımı;

$\dbinom{8+3-1}{3-1}=\dbinom{10}{2}=45$ bulunur.