Vektör Uzayı, Baz, Ortogonal Baz hakkında

Question

$V$, [0,1] kapalı aralığı üzerinde tanımlı sürekli, reel değerli fonksiyonların uzayı olsun. Ayrıca $V$ üzerinde bir skaler çarpımı şöyle tanımlayalım:

                                            $<f,g> = \int_{0}^{1} f(t)g(t) d_t$

Şimdi her vektör uzayının bir tabanı olduğunu biliyoruz. Öyleyse:

1) $V$'nin bir tabanını bulun.

Ayrıca her tabanın Gram-Schmidt Ortogonolizasyon Yöntemiyle ortogonal tabana dönüştürülebileceğini biliyoruz. Öyleyse :

2) $V$'nin ortogonal bir tabanını bulun.

Burda norm nasıl tanımlanır bilmiyorum ama, 

3)$V$'nin ortonormal bir tabanını bulun.

Comments

Bir ic carpim uzayinda norm nasil tanimlaniyorsa oyle tanimlanir.

---

$\sqrt{<f,f>}$

---

Bu vektör uzayı sonsuz boyutlu. Baz tanımındaki germe koşulunun (lineer bağımsızlık koşulu biraz daha kolay) ne olması gerektiğini düşünmek gerekir. 

---

Peki baz yazabilir miyiz Doğan Hocam? Dahası ortonormal baz

---

(Daha çok analizde kullanılan) Sonsuz boyutlu  vektör uzaylarında   baz tanımını cebirdekinden farklı yapmak daha uygun oluyor. Buradaki uzay o metriğe göre tam da değil.

 Sonsuz boyutlu uzaylar için  "Hamel bazı" kavramı var (cebirdeki baz benzeri ama kardinalitesi çok büyük oluyor) ama onun yerine, "Schrauder bazı" vs.gibi başka kavramlar var, onlar analize daha uygun. (https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)#From_the_definition_of_basis)

Eğer baz sayılamaz ise Gramm-Schmidt işe yaramaz.

---

Gram-Schimidt ten başka bir yöntemle ortogonal bazın olup olmadığı anlaşılabilir mi peki?