Question

$\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n} \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}$  limitini hesaplayınız.

Aşağıdaki yöntem neden doğru değil?

$$------------------$$

$\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n} \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}$

Limit kurallarından ve $\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}$  ve $\lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}$   limitlerinin varolduğundan dolayı şöyle yazabiliriz:

$$\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n} \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}=\left(\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}\right) \left(\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!}\right)$$
$$=\left(\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}\right) \left(\lim\limits_{n\to\infty}e^{n}\right)=\lim\limits_{n\to \infty}e^0=1$$

$$------------------$$

Nasıl çözebiliriz?Hangi şartları kontrol etmeli?

Comments

Toplamin limit icini nasil $e^n$. Hem limitleri ayirman (yontemine gore) sifir carpi sonsuz getirmis. Yani bir hata olmali degil mi?

---

elımde lımıt var ve limit kuralı dıyorkı, eger lımıtler ayrı ayrı varsa ve çarpım durumu varsa ayır ve ayrı ayrı lımıt al, ben de alıyorum ve bu çıkıyor, elbet yanlış ama neden?

---

limit kurali limitler varsa ayir derken sonsuzu var olarak gormuyor.

---

:( gene kavram kargaşası o zaman yakınsaksa ayırabılırız denmelı, lımıtı varsa dıye degıl, ama gene baktım, "lımıtı varsa" diyor.

"https://tr.wikipedia.org/wiki/Limit_hesaplama_kurallar%C4%B1"

Burada $L_{1,2}$ var ama bunların reel oldugundan bahsedilmemiş, dolayısıyla $\infty$ sembolunü de temsil edebilirler.

---

Anıl hocam üst sınırda n yazılmış sonsuz olması gerekmez mi $e^n$ gerektirmesi için ? 

---

aynen oyle.