Karmaşık fonksiyonlarda normlu ifadelerin türevi

Question

$f'(z)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ ,  $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$   $(z=x+iy)$   olmak üzere

$f(z)=|z|\Rightarrow f'(z)=?$

Denemelerim:

• Fonksiyonda $z=x+iy$ ve $h=a+ib$ yazarak modül dışına çıkardığımda

$$\lim\limits_{a,b\rightarrow0} \frac{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{a+ib}$$

sonucunu elde ettim ancak sonrası için bir toparlama yapamadım.

• $z.\overline{z}=|z|^2$ eşitliğini kullanmayı denedim ancak bu sefer de ifadeyi $\bigg(\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\sqrt{(z+h)(\overline{z+h})}-\sqrt{z.\overline{z}}}{h}\bigg)$ açtığımda daha da karmaşık bir hal aldı.

Yardımcı olabilecek hocalarıma şimdiden teşekkür ediyorum.

Comments

Türevlenebilme için Cauchy-Riemann koşullarını bilyor musunuz?

---

Biliyorum ama derste C-R koşullarının tanımı bu sorudan sonra yapıldı. Yani bu sorunun C-R koşulları kullanılmadan çözümü isteniyor.

---

$\lim\limits_{a,b\rightarrow0} \frac{\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{a+ib}$ limitini, önce  $a=0$ iken ve daha sonra da $b=0$ iken (yani reel eksen ve sanal eksen üzerinden 0 a yaklaşırken) ayrı ayrı hesaplamayı bir dene. Limit varsa ikisi aynı sonucu vermeli.

---

Teşekkür ederim hocam ayrı ayrı hesapladığımda sonuca ulaştım.

Answer 1

$f'(z)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{|z+h|-|z|}{h}$       $h=a+ib$   olmak üzere

• $h=a$  iken;    

$$\lim\limits_{a\rightarrow 0}\frac{|z+a|-|z|}{a}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{\sqrt{(x+a)^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{a}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{(x+a)^2+y^2-(x^2+y^2)}{a.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{x^2+2ax+a^2-x^2}{a.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$

$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{a.(2x+a)}{a.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{a\rightarrow0} \frac{2x+a}{\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

• $h=ib$  iken;

$$\lim\limits_{b\rightarrow 0}\frac{|z+ib|-|z|}{ib}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{\sqrt{x^2+(y+b)^2}-\sqrt{x^2+y^2}}{ib}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{x^2+(y+b)^2-(x^2+y^2)}{ib.\big(\sqrt{x^2+(y+b)^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{y^2+2by+b^2-y^2}{ib.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$

$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{b.(2y+b)}{ib.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$
$$=\lim\limits_{b\rightarrow0} \frac{2y+b}{i.\big(\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}\big)}$$

$$=\frac{2y}{2i\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{i\sqrt{x^2+y^2}}$$

$h=a$ ile $h=b$ birbirinden farklı $\bigg(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\not=\frac{y}{i\sqrt{x^2+y^2}}\bigg)$  olduğu için $f$ fonksiyonu türevlenebilir değildir.