Bir idealin "büzüşmesi" ve "genişlemesi"

Question

 $A,B$ iki halka olsun. $\mathfrak{a}$, $A$'nın bir ideali ve $\mathfrak{b}$, $B$ bir ideali olsun. 
Son olarak $f: A \rightarrow B$ bir halka homomorfizması olsun. $\mathfrak{a}^e$,$\mathfrak{a}$ idealinin genişlemesi -extension- şöyle tanımlanıyor: $f(\mathfrak{a})$'nın $B$'de ürettiği ideal.  $\mathfrak{b}^c$, $\mathfrak{b}$'nin büzüşmesi - contraction- ise $f^{-1}(\mathfrak{b})$, $A$'nın bir ideali. Şu iki özelliği nasıl gösteririz?
1.$\mathfrak{b}^{ce} \subset \mathfrak{b}$
2.$\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}^{ec}$
2.özellik bariz, $\mathfrak{a}^e=B\mathfrak{a}$ $\implies f^{-1}(B \mathfrak{a}) =\mathfrak{a}^{ec}= kerf\mathfrak{a} \supset \mathfrak{a}$

İlk özellikte gariplik var gibi geliyor bana. Ne yapabiliriz?

Answer 1

Bir $J\subseteq B$ ideali aldın ve bunun öngörüntüsüne baktın. Sonra da bu öngörüntünün görüntüsüne baktın, o görüntünün gerdiği ideali aldın en sonunda da. Bir küme ile o kümenin öngörüntüsü arasındaki ilişki çoğu zaman bilgi kaybettirebilir. Yani öngörüntü, aldığın $J$ idealinin çok fazla bilgisini kaybedebilir. Dejenere örnek $f=0$ fonksiyonu. $J$'yi ne alırsan al aynı öngörüntüyü elde edeceksin. Nihayet soruya gelelim:  $$f(f^{-1}(J))\subset J$$ olduğu için $$f(f^{-1}(J))B\subset JB=J$$ olacak.

Comments

Doğru ya, $f(f^-1(J)) \subset J$ ilişkisini nasıl oluyor düşündüm 5 dakika... Çok teşekkürler!