Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Soru TÜBİTAK 1. Aşama sorusu burda sorabiliyor muyuz bilemedim sorulamuyorsa silerim x+y+z=1 pozitif reel sayıları için (1+1x)(1+1y)(1+1z) çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

(1+1x)(1+1y)(1+1z) ifadesi x=y=z=1/3 için 64 değerini alır. Bundan daha az olamayacağını gösterelim.

(1+1x)(1+1y)(1+1z)=(1+x)(1+y)(1+z)xyz=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyzxyz=2+xy+yz+zx+xyzxyz=1+1x+1y+1z+2xyz eşitliğini aklımızda tutalım, birazdan gerekecek.

GO AO eşitsizliğinden dolayı 1x+1y+1z3(xyz)1/3 olur. Bunu yukarıda elde ettiğimiz eşitliğe yerleştirirsek, (1+1x)(1+1y)(1+1z)=1+1x+1y+1z+2xyz1+3(xyz)1/3+2xyz elde ederiz. Bunu aklımızda tutalım, birazdan gerekecek.

GO AO eşitsizliğinden dolayı (xyz)1/3x+y+z3=13, yani xyz127 olur. Yukarıda bıraktığımız yerden devam edecek olursak, (1+1x)(1+1y)(1+1z)1+3(xyz)1/3+2xyz1+3(1/27)1/3+21/27=64 elde ederiz.

(904 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Meğer benden 8 saat önce Temel Gökçe çözmüş. Görmedim, özür. Emeğimi silemeyeceğim, affola!

Teşekkür ederiz Ali Hocam.
Benimkisi zaten foto olarak atildiğindan güzel ve anlasılır durmuyordu.Ben siliyorum.
Saygılar, tekrar çok teşekkürler.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Ali Nesin'in çözüm çok sade ve güzel, sadece farklı bir bakış açısı ile çözmek isterseniz
Jensen eşitsizliği kullanalım f(x)=ln(1+1/x) alalım f(x)=1/(x+1)21/x20 içbükeydir. Jensen eşitsiliğini yazarsak ln(1+1/x)ln(1+1/y)ln(1+1/z)3ln(1+1/(x+y+z)3 x+y+z=1 yazıp eşitsiliği düzenlersek 3ln4ln(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) buradanda  (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)64 buluruz
(1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Cozumde hatalar var:

(1) Eger f(x)=ln(1+1x) ise o halde 

f(x)=ln(1+1x)1=ln(xx+1)=ln(x)ln(x+1)

ve dolayisiyla

f(x)=1(x+1)21x2

olur. Bu cok buyuk bir sorun degil cunku fonksiyon yine de icbukey.

(2) Jensen esitsizligini uygularken de bir hata var. Esitsizlikte agirliklarin toplami fonksiyonun argumanina bolunuyor. O yuzden soyle gorunmeli:

ln(1+1x)ln(1+1y)ln(1+1z)3ln(1+1x+1y+1z3)

ya da

ln(1+1x)+ln(1+1y)+ln(1+1z)3ln(1+1x+1y+1z3)

Simdi harmonik ortalama, aritmetik ortalamadan daha kucuk oldugu icin

31x+1y+1zx+y+z3=131x+1y+1z9

olur. Nihayet logaritmanin hep artan oldugunu kaale alarak

ln(1+1x)+ln(1+1y)+ln(1+1z)3ln(4)

oldugunu ve dolayisiyla sorudaki iddiayi gosteririz.

Teşekkür ederim işlem hatasını gösterdiğiniz için düzeltirim yalnız Jensen uygulamasında hata olmadığını düşünüyorum.

20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,656,289 kullanıcı