Cozumde hatalar var:
(1) Eger f(x)=−ln(1+1x) ise o halde
f(x)=ln(1+1x)−1=ln(xx+1)=ln(x)−ln(x+1)
ve dolayisiyla
f″(x)=1(x+1)2−1x2
olur. Bu cok buyuk bir sorun degil cunku fonksiyon yine de icbukey.
(2) Jensen esitsizligini uygularken de bir hata var. Esitsizlikte agirliklarin toplami fonksiyonun argumanina bolunuyor. O yuzden soyle gorunmeli:
−ln(1+1x)−ln(1+1y)−ln(1+1z)≤−3ln(1+1x+1y+1z3)
ya da
ln(1+1x)+ln(1+1y)+ln(1+1z)≥3ln(1+1x+1y+1z3)
Simdi harmonik ortalama, aritmetik ortalamadan daha kucuk oldugu icin
31x+1y+1z≤x+y+z3=13⟹1x+1y+1z≥9
olur. Nihayet logaritmanin hep artan oldugunu kaale alarak
ln(1+1x)+ln(1+1y)+ln(1+1z)≥3ln(4)
oldugunu ve dolayisiyla sorudaki iddiayi gosteririz.