Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklem

Question

$x^{2}y^{''}-3x y^{'}+4y=\ln ^{2}x+1$    diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

Hangi tipe girdiğini tam kavrayamadım.Çünkü herhangi bir çözüm verilmemiş.Cauchy-Euler olabilir diye düşünüyordum fakat ordan da bulamadım yardımcı olursnız sevinirim.

Comments

Bu soruyu "34" puan karşılığında ödüllü soru ilan ediyorum

---

Yapıldı ve puan düşüldü.      

---

Keşke çözümü de yazsaydınız :)

---

Yani yapıldı derken, ödüllü yapıldı demek istedim :D yapsam niye atmıyım :) 

---

Bu yontem ile cozulebilir. Laplace donusumu de denenebilir.

---

Admin bey, bence birkac gun gecmeden odul koyulmamali. 

Answer 1

$y=x^r$ kabul et ve turevlerini yerine koyarsan, cift kok geldiginden homojen cozum su olur:

$y_h=c_1x^2+c_2x^2lnx$

Parametrelerin degisimi yontemini kullanirsak:

$y_1=x^2$                     $y_2=x^2lnx$  olsun.

Wronskian: $W=y_1y_2'-y_2y_1'\neq0$

 $W=x^2(2xlnx+x^2/x)-x^2lnx2x=x^3\neq0$

Ozel cozum soyle bulunur: $$y_o=y_2\int\frac{y_1f(x)}{W}dx-y_1\int\frac{y_2f(x)}{W}dx$$

$$y_o=x^2lnx\int\frac{x^2(ln^2x+1)}{x^3}dx-x^2\int\frac{x^2lnx(ln^2x+1)}{x^3}dx$$

$$y_o=x^2lnx\int\frac{(ln^2x+1)}{x}dx-x^2\int\frac{lnx(ln^2x+1)}{x}dx$$

$$y_o=x^2lnx\left(\int\frac{ln^2x}{x}dx+\int\frac{1}{x}dx\right)-x^2\left(\int\frac{ln^3x}{x}dx+\int\frac{lnx}{x}dx\right)$$

$lnx=u$ donusumu yaparsan ozel cozumu bulursun. Genel cozum ise homojen + ozel cozum olur..

http://www.acikders.org.tr/file.php/4/LectureNotesAndReadings/D13.pdf

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx