$(f^{-1})'(3) = [(f^{-1})(3)]'$ eşitliği doğru mudur?

Question

$f:[2,\infty) \longrightarrow$ $[-2,\infty)$ olmak üzere,

$f(x)=x^2-4x+2$

olduğuna göre, $(f^{-1})'(7) + [(f^{-1})(3)]'$ toplamı kaçtır?

$(f^{-1})'(3) = [(f^{-1})(3)]'$ eşitliği doğru mudur? Eğer doğruysa bu eşitlik türev alma fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur anlamına mı gelir?

Comments

Eşitliğin sağ tarafı daima sıfırdır.

---

Evet cunki, fonksiyonun tersinde x yerine 3 yaziyorsun ve neticede bi sayi bulacaksin yani sabit fonksiyon, turevini aldiginda da 0 oluyor.

Answer 1

$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ oldugundan,

$(f^{-1})'(3)=\frac{1}{f'(f^{-1}(3))}$ olur.

Comments

1. yol fonsiyonun tersini bulmak:

$y=x^2-4x+2$

$x^2-4x+2-y=0$

$x^2-4x+4-4+2-y=0$

$(x-2)^2=2+y$

$x=2\mp\sqrt{2+y}$

$f^{-1}(x)=2+\sqrt{2+x}$

$f^{-1}(3)=2+\sqrt{5}$

$(f^{-1})'(3)=\frac{1}{f'(f^{-1}(3))}=\frac{1}{f'(2+\sqrt{5})}$

$f'(x)=2x-4$

$f'(2+\sqrt{5})=2(2+\sqrt{5})-4=2\sqrt{5}$

$(f^{-1})'(3)=\frac{1}{f'(f^{-1}(3))}=\frac{1}{f'(2+\sqrt{5})}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

2. yol: Gerekli olan $f^{-1}(3)$ bulmak.

$f^{-1}(3)=a$  olsun. $f(a)=3$ olur.

$f(a)=a^2-4a+2=3$

$a^2-4a-1=0$

$a=2\mp\sqrt{5}$

$a=2+\sqrt{5}$  olur..

$f^{-1}(3)=2+\sqrt{5}$

ayni sekilde formulde yerine koyarak

$(f^{-1})'(3)=\frac{1}{f'(f^{-1}(3))}=\frac{1}{f'(2+\sqrt{5})}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$ oldugu gorulur..

Bu formulun guzelligi bazi fonksiyonlarin tersini almak cok zor $(x^3+2x+1  \quad     gibi)$  hatta imkansiz

$(x^7+2x+1   \quad    ve \cos(x)+2x+2   \quad gibi)$. Ama goruldugu gibi tersini bulmadan, 2. ornekte oldugu gibi, tersin turevinin degerini bulabiliyoruz..

---

Bu formul nerden geliyor..

$f(f^{-1})(x)=x$

Her iki tarafin turevini alalim. Zincir kuralindan,

$f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1$

$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$  olur..