Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
4.5k kez görüntülendi

$f(x)=-3x^2+(m-2)x-2m+4$ fonksiyonu $[2,\infty)$ aralığında birebir fonksiyon olduğuna göre,m nin en büyük tam sayı değeri ?

@:$\Delta$ <0 için inceledim,kök yoksa hepsi farklı yere gider bakımından ^^.cevaba ulaşamadım

cevap:14

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.3k puan) tarafından  | 4.5k kez görüntülendi

Birebir fonksiyon ne demek? Birebir fonksiyonun tanımından yola çıkıp $[2,\infty)$ aralığında bu fonksiyon için nasıl bir yorum yapabiliriz?

Tepe noktasinin apsisinden gecen dogruya simetri ekseni denir ve bu eksene esit uzakliktaki noktalarin goruntuleri birbirine esittir. 

O halde, fonksiyonun bu aralikta birebir olmasi ile bu ozellik arasindaki iliskiden yola cikabilirsin.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

image

Parabolümüz bu şekilde olsun.Birebir olması için, bir $y$ değerinin yalnız bir $x$ değeri ile eşleşmesi demektir.Mesela bu fonksiyon, $[1,3]$ aralığında bire bir değildir.Çünkü aynı $y$ değerine giden iki farklı $x$ değeri vardır.

Fakat simetri eksenine bakarsan, $[2,+\infty)$ ve $(-\infty,2]$ aralıklarında bu parabolün her $y$ değerinin yalnız bir $x$ değeri ile eşleştiğini dolayısı ile bire bir olduğunu görebilirsin.

Buradaki $2$ değeri, parabolün tepe noktasının apsisidir ve kökler toplamının yarısı ile bulunur.

$\frac{m-2}{6}=2$,

$m=14$ olacaktır.

(1.1k puan) tarafından 

güzel çözüm,sağolun 

Kolay gelsin.

Bu fonksiyon her $a\geq 2$  reel sayı için   $[a,\infty)$ de birebirdir. Örneğin $[10,\infty),[50,\infty),...$ aralıklarında birebirdir. Aynı şekilde her $a\leq 2$ için $(\infty,a]$ aralığında birebirdir. Neden $m$ 'nin en büyük değeri sorulmuş acaba? Ya da bulunana $14$ değeri $m$'nin gerçekten en büyük değeri mi?

Mehmet hocam,ama bize simetri ekseninin $2$ olduğu bilgisi verilmiş.Sizin dediğiniz şekilde yaparsak simetri ekseni $2$'den farklı çıkmaz mı?

Benim söylemek istediğim bu fonksiyon $(-\infty,2]$ ve $[2,\infty)$ aralıklarının her alt aralığında birebirdir. Bu sebeple $m$ en büyük değeri yada en küçük değeri nasıl bulunabilir ki?

$m$'in değeri parabolün tepe noktasını belirliyor. Eğer $m$ biraz daha büyük olsaydı, tepe noktası da daha büyük olacaktı. Dolayısıyla, $[2, \infty)$ aralığında birebirlik olmayacaktı.

Belirtilen aralikta birebirligi sağlayan tek m degeri yok mudur? Soruda niye en büyük diye bir ibare var? Mehmet hocam tam olarak bunu mu kastediyorsunuz yoksa farkli bir sey mi algılayamadım.

Tek bir değer varsa o zaten en büyüğü ve aynı zamanda en küçüğüdür.Çünkü alabileceği tek değer odur.

@hulya hocam kast ettiğim şu:

Bize fonksiyonun $[2,\infty)$ de değilde $[10,\infty)$ de birebir olduğu verilseydi $\frac{m-3}{6}=10$ dan $m=63$, $[200,\infty)$ olarak verilseydi $m=1203$  ya da $[-\infty,-5]$ verilseydi $m=-27$ olacaktı. Yani $m$ nin en büyük ya da en küçük olması keyfi olarak verilen bir aralığa göre değişiyor. Hangisini almalıyız? 

@Mehmet Toktaş Soruda bize verilen bilgi "$[2, \infty)$ aralığında birebirdir ama $a<2$ için $[a, \infty)$ aralığında birebir değildir" değil. Sadece "$[2, \infty)$ aralığında birebir olduğu" bilgisi verilmiş. Eğer $m$ değerini daha küçük seçersek, verilen aralıkta hala birebir olur fonksiyon (tepe noktası sola kayar). Fakat eğer $m$ değerini $2$'den büyük seçersek, artık elimizdeki fonksiyon birebir olmaz.

Eğer mm değerini daha küçük seçersek verilen aralıkta hala birebir olur fonksiyon (tepe noktası sola kayar). Fakat eğer mm değerini 22'den büyük seçersek artık elimizdeki fonksiyon birebir olmaz.

Türkçem o kadar iyi değil ama cümlede sorun var gibi .d

$[2, \infty)$ aralığı zaten birebirliği sağlayan en geniş aralıkmış.Bu yüzden 2 yi baz alıp çözüyoruz.Neden keyfi farklı aralıklar düşünüyosunuz. Zaten soruda verilen aralık değişirse fonksiyon değişir.

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,003,179 kullanıcı