Sürtünmesiz ortamlı yeryüzünde vuku bulan atışların bir parabol grafiği çizdiğini gösteriniz.

Question

Bu atış diyagramındaki eğrinin parabol olduğunu ispat ediniz, çok basit ama değinilmesi gerektiğini düşünüyorum.


$(a\neq0),b,c\;\in\mathbb R$  olmak üzre;

$P[x]=ax^2+bx+c$  ise $P$ bir paraboldür.

Comments

Yataydaki hız bileşeni sabittir.

$x$'teki yer değiştirme: $V_x \cdot t$

Düşeydeki hız bileşeni de $a=g$ yerçekimi ivmesi ile yukarı doğru azalır, aşağı doğru artar.

$y$'deki yer değiştirme: $ \dfrac 1 2 g t^2=V_y(t) \cdot t$

Parametrik çözüm yapmak lazım bundan sonra. :)

---

Evvet aynen öyle :), sonra çok karmaşık gibi olan bence keyifli olan biraz cebirivari uygulama gerek :) bu arada sizi tekrar görmek güzel :)

Answer 1

Cisim $A$ noktasından $V_0$'lık bir ilk hız ile atıldığında hızın $x$ ve $y$ ekseni boyunca izdüşümleri:

$V_{ix}=V_0 \cos{\theta_0}$ ve $V_{iy}=V_0 \sin{\theta_0}$

olduğundan hızın $x-$ ve $y-$ bileşenleri,

$V_{0x}=V_0 \cos{\theta_0}$ ve $V_{0y}=V_0 \sin{\theta_0}$

şeklindedir.

$x-$ ekseni boyunca alınan yol: (ivme sıfır olduğundan $V_{ix}$ zamanla değişmez)

$a_x=0 \to x=V_{ix}t=V_i \cos{\theta_0}t$ (1)

$y-$ ekseni boyunca alınan yol:

$a_y=-g \to y=V_{iy}t-\frac{1}{2}gt^2=V_i \sin{\theta_0}t-\frac {1}{2} gt^2$ (2)

Uçuş süresini 1. eşitlikten bulalım:

$t=\dfrac{x}{V_i \cos{\theta_0}}$

2. eşitlikte yerine koyarsak,

$y=-\left( \dfrac{g}{2V_i^2 \cos^2{\theta_0}}\right)x^2+\tan{\theta_0}x$

$A=- \dfrac{g}{2V_i^2 \cos^2{\theta_0}} \\ B=\tan{\theta_0} \\ C=0$

Answer 2

aynısını @funky2000 yaptı ancak ilk konum ve zamanı da ekleyeyim bulunsun;


Parabol çizmesi için $x$ ve $y$ eksenlerine göre bizim bildiğimiz şekline benzemeli yani $y$,    $x$   cinsinden olmalı;


$x=v_0cos\theta t+x_0$

$\left(\dfrac{x-x_0}{v_0cos\theta}\right)=t$


$y=y_0+v_0sin\theta t-\dfrac12gt^2$

Yerine yazarsak;

$y=y_0+v_0sin\theta \left(\dfrac{x-x_0}{v_0cos\theta}\right)-\dfrac12g\left(\dfrac{x-x_0}{v_0cos\theta}\right)^2$

$y=y_0+xtan\theta -x_0tan\theta-\dfrac{g}{2v_0^2cos^2\theta}(x^2-2xx_0+x_0^2)$

$y=\underbrace{\left(-\dfrac{g}{2v_0^2cos^2\theta}\right)}_{Ax^2}x^2+\underbrace{\left(\dfrac{gxx_0}{v_0^2cos^2\theta}+tan\theta\right)}_{Bx}x+\underbrace{y_0-x_0 tan\theta-\dfrac{gx_0^2}{2v_0^2cos^2\theta}}_{C}$