Birim çemberde trigonometrik fonksiyonlar yardımı ile uzunluk hesabı

Question

$O$ merkezli dörtte bir çemberde $|BP|=\sqrt{3}cosa$ olduğuna göre $cosa$ kaçtır?

$B$'den $OP$'ye dik çekmeyi düşündüm. AYrıca $OBP$ üçgeninin ikizkenar olduğunu da farkettim.Fakat benim anlamadığım burada $a$ açısı garip bir yerde.Yerini değiştirmek için şekli aynı şekilde $x$ eksenine yatık halde çizmeye çalıştım fakat buradan da bir şey gelmedi.Bunun kosinüsünü nasıl hesaplayacağımı bilemedim.

Comments

orijinden $[BP]$'ye dik indirebilirisin.

---

İndirdim Sercan hocam.Tabanı iki eşit parçaya ayırdığını ve açıortay olduğunu buldum.Daha sonra çıkan üçgenden bir eşitlik kurarak $sin(a/2)=\sqrt{3}/2 cosa$ eşitliğini de kurdum.Buradan sonra ne yapabileceğime dair soru işaretlerim var.

---

sonrasinda $\cos a=1-2\sin^2(a/2)$ olarak devam edebilirsin.

---

Sercan hocam, bu eşitliğe nereden ulaştık ?

Ben $sin(a/2)=\frac{\sqrt{3}}{2}.cosa$ olarak yazdım iki tarafı da iki ile çarpıp karesini aldığımda 

$4sin^2(a/2)=cos^2a$ ifadesine geldim.

---

yarim aci formulleri: $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ olur. $2x=a$ yazarsak, yukarida yazdigim gelir.

Bu arada cevap cok karisik geliyor. Klasik bir aci degil yani.

---

Daha yarım açı formüllerini öğrenmedik hocam.Ben birkaç hafta sonra bu soruya yeniden döneyim,sanırım o zaman daha anlaşılır bir çözüme kavuşabilirim.

---

Kosinus teoremi denedin mi? Gerekirse degisken degistirme ve ikinci derece denklem

---

Kosinüs teoremini yapınca

$3cos^2a=2-2cosa$ geliyor.

Buradan $cosa=u$ dersek

$3u^2+2u-2=0$ geliyor ki bu denklemde $\triangle=28$ oluyor.

Bizim aradığımız zaten $cosa=u$ olduğu için bu denklemin kökü

$\frac{-2+\sqrt{28}}{6}$,

$\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$ veya $\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$ olur ki ikinci ifade eksi birden küçük olduğu için kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesinde değildir o yüzden cevap birinci ifade olur.

Olmuş mu hocam? :)

---

Bence gayet şık gorunuyor. Kosinus icin eldeki ifadenin tanim araliginda olmasina da dikkat etmissin daha ne olsun .)

Answer 1

$a$ açısının kenarından kosinüs teoremini uygularsak

$3cos^2a=2-2cosa$, (Birim çemberin yarıçapı 1'dir,hatırlatma)

$cosa=u$ dönüşümünü yapalım

$3u^2+2u-2=0$ olur bu ifadeyi deltadan yapalım çarpanlarına ayıramıyoruz şu halde.

$\triangle=28$ olur.

Bize zaten $cosa=u$ değeri soruluyor yani uygun olan kökü arıyoruz.

$\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$ ve $\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$ u'nun alabileceği değerlerdir fakat $cosa$ $-1$ ile $1$ aralığında değer aldığından ve ikinci ifade $-1$'den küçük olduğundan dolayı kosinüs bu değere eşit olamaz.Elimizde kalan diğer kök $\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$ cevabımız olur.