Ters Trigonometrik Fonksiyonlar / Doğruya göre simetrik olma

Question

$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

aralığında y=sinx fonksiyonunun grafiği ile y=g(x) fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Buna göre g(x) aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) g(x)=arcsinx

b) g(x)=cosx

C) g(x)=-sinx

D) g(x)=arccosx

E) g(x)=sin$(x^{-1})$

Açıkcası g(x)'e $sinx$ ve $-sinx$ olur dedim (çünkü y=x doğrusuna göre simetiriği ise atıyorum bir tanesi 1,1 noktasında ise simetriği -1,-1 noktasında olur diye bu kanıya vardım)

Fakat cevap arcsinx imiş.Neden olduğunu anlamadım.

Comments

fonks. tersi x=y doğrusuna göre simetriktir.

Senin verdiğin örn orjine göre simetrik olur.İkisi farklı durumlar..

---

Mesela

3,5 ve 5,3 gibi mi hocam?

---

$(a,b)$ nin orjine göre simetriği  $(-a,-b)$   ,   x=y  ye göre simetriği  $(b,a)$  dır.

---

Teşekkür ederim hocam,çok yardımcı oldunuz.

Answer 1

($f$ ve $g$ soru ile alakasız , birebir ve örten fonksiyonlar olmak üzere)  

Eğer iki fonksiyon $y=x$ doğrusuna göre simetrik ise birbirlerinin tersidirler.

$f(a)=b$ olsun.Eğer ki biz bu fonksiyon üzerindeki noktayı yazmak istersek bu sıralı $(x,y)$ ikilisini $a,b$ olarak gösterebiliriz.

$(a,b)$'nin $y=x$ doğrusuna göre simetriği, $(b,a)$ olur.Bunu da yeni bir $g(x)$ olarak gösterirsek,

$g(b)=a$ oldu.Zaten biz $f(a)=b$ eşitliğini biliyoruz.Bundan da $f^{-1}(b)=a$ yazarız.Demek ki $g(x)=f^{-1}(x)$ olmuş oldu.

Bu bilgiye dayanarak bu soruyu çözmek istersek, şıklardan hareketle $g(x)$'in $arcsinx$ olduğunu görebiliriz.